Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．

（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP= ，求CF的长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，
∴DC=AB=6，
∴AC= =10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CPCD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4，
②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PD=PA，
∴PA=PC，
∴AP= AC=5，
③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，

则PQ=CQ，
∵S△ADC= ADDC= ACDQ，
∴DQ= = ，
∴CQ= = ，
∴PC=2CQ= ，
∴AP=AC﹣PC=10﹣ = ；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或 ；
（Ⅱ）如图2，连接PF，DE记PF与DE的交点为O，连接OC，

∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC=∠PDF=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP=∠CDF，
∵∠BCD=90°，OE=OD，
∴OC= ED，
在矩形PEFD中，PF=DE，
∴OC= PF，
∵OP=OF= PF，
∴OC=OP=OF，
∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，
∴2∠OCP+2∠OCF=180°，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCD+∠FCD=90°，
在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，
∴∠PAD=∠FCD，
∴△ADP∽△CDF，
∴ ，
∵AP= ，
∴CF= ．
【解析】（Ⅰ）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（Ⅱ）先判断出OC= ED，OC= PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，以及对相似三角形的应用的理解，了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．