Question

【题目】(1)问题发现

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE．

如图(1)，当α=90°时，试猜想：

①AF与BE的数量关系是　 　；②∠ABE=　 　；

(2)拓展探究

如图(2)，当0°<α<90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．

(3)解决问题

如图(3)，在△ABC中，AC=BC，AB=8，∠ACB=α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD=3CD时，请直接写出BE的长度．

Answer 1

【答案】（1）①AF＝BF ②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α，理由见解析；（3）2或4

【解析】

（1）①由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，②根据三角形全等可得∠DAF＝∠E，又因为∠AOD＝∠EOB，即可求得∠ABE=∠ADO=90°；
（2）结论：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”证△ADF≌△EDB，即可解决问题；
（3）分当点D在线段BC上和当点D在BC的延长线上两种情形讨论，利用平行线分线段成比例可求解．

（1）①设AB交DE于O．

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠ABC＝45°，

∵DF∥AC，

∴∠FDB＝∠C＝90°，

∴∠DFB＝∠DBF＝45°，

∴DF＝DB，

∵∠ADE＝∠FDB＝90°，

∴∠ADE-∠FDE=∠FDB-∠FDE

∴∠ADF＝∠EDB，

∵DA＝DE，

∴△ADF≌△EDB，

∴AF＝BE，

②由①得：△ADF≌△EDB，

∴∠DAF＝∠E，

又∵∠AOD＝∠EOB，

∴∠ABE＝∠ADO＝90°．

故答案为：AF＝BF，90°．

(2)结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：

∵DF∥AC，

∴∠ACB＝∠FDB＝∠ADE=α，∠CAB＝∠DFB，

∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠CAB，

∴∠ABC＝∠DFB，

∴DB＝DF，

∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，

∴∠ADF＝∠EDB，

又∵AD＝DE，

∴△ADF≌△EDB，

∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD

∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，

∴∠ABE＝∠FDB＝α．

(3)①如图3﹣1中，当点D在BC上时，

∵BD=3CD

∴

∵DF∥AC，

∴=，

∵AB＝8，

∴AF＝2，

由(2)可知：BE＝AF，

∴BE＝AF＝2，

②如图3﹣2中，当点D在BC的延长线上时，

∵BD=3CD

∴

∵AC∥DF，

∴＝，

∵AB＝8，

∴AF＝4，

∴BE＝AF＝4

故BE的长度为2或4．