Question

已知四边形ABCD，点E是射线BC上的一个动点（点E不与B、C两点重合），线段BE的垂直平分线交射线AC于点P，联结DP，PE.

（1）若四边形ABCD是正方形，猜想PD与PE的关系，并证明你的结论.
（2）若四边形ABCD是矩形，（1）中的PD与PE的关系还成立吗？      （填：成立或不成立）.

（3）若四边形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD= ，设AP=x，△PCE的面积为y,当AP>AC时，求y与x之间的函数关系式.

Answer 1

（1）见解析
（2）成立
（3）见解析

（1）PE＝PD，……………………………..(1分)
PE⊥PD  ……………………………..(2分)
①  点E在射线BC边上,且交点P在对角线AC上时,连结PB

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP。
又∵AP＝AP，∴△BAP≌△DAP（SAS）。
∴PB＝PD
∵点P在BE的垂直平分线上
∴PB=PE
∴PE＝PD      
∵△BAP≌△DAP，∴∠DPA＝∠APB.
又∵∠APB＝180°－45°－∠ABP＝135°－∠ABP，
∴∠DPA＝135°－∠ABP。
又∵PE＝PB，∴∠BPE＝180°－2∠PBE
∴∠DPE＝360°－∠DPA－∠APB—∠BPE＝360°－2（135°－∠ABP）
－180°+2∠PBE ＝360°－270°+2∠ABP－180°+2∠PBE=90°
∴PE⊥PD                           ………………………..(3分)
② P、C两点重合

                    ………………………..(4分)
③ 当点E在BC边的延长线上且点P在对角
线AC的延长线上时,连结PB

同理可证∴△BAP≌△DAP（SAS）。
∴ PB=PD
∴∠PBA=∠PDA
∴∠PBE=∠PDC
∵点P在BE的垂直平分线上
∴PB=PE
∴∠PBE=∠PEB
∴∠PDC=∠PEB
∴∠DFC=∠EFP
∴∠EPF =∠DCF=90°
∴PE⊥PD                …………………………………………..(5分)
结论成立         
（3）（1）中的猜想不成立.               …………………………..(6分)
（4） ①当点P在线段AC上时
∵四边形ABCD是矩形，AB=6
∴DC=AB=6
∴∠ABC=∠ADC=90°
∵cos∠ACD= 
∴AD=8，AC=10
作PQ⊥BC于点Q

∴PQ∥AB
∴=
∴=
∴BQ=x, ∴BE=x, ∴CE=x－8
∴△CPQ∽△CAB
∴=  ∴=
∴PQ=6-x
∴y=EC×PQ
=(x－8)( 6-x)
=-x²+x-24(5<x<10)          ……………………………..(7分)
②当点P在线段AC的延长线上时

∵PQ∥AB
∴△CPQ∽△CAB
∴=
∴=
∴PQ=x-6
∴=
∴=
∴CQ=x-8
∴BQ=x
∴BE=x
∴EC=x-8
∴y =EC×PQ
=(x－8) (x-6)
= -x+24(x>10)   ………………………………………..(8分)
[注]学生正确答案与本答案不同，请老师们酌情给分。