Question

如图，正方形ABCD的边长为2，E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，EM的延长线与CD的延长线交于点F，MG⊥EF，交CD于N，交BC的延长线于G，点P是MG的中点．连接EG、FG．下列结论：①当点E为边AB的中点时，S_△EFG=5；②MG=EF；③当AE=

3

时，FG=2

5

；④若点E从点A运动到点B，则此过程中点P移动的距离为2．其中正确的结论的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：当E点是AB的中点时，由条件可知AM=AE=1，由勾股定理求出EM=

2

，通过证明△AME≌△DMF，可以得出EM=FM=

2

，EF=2

2

．过M作MN⊥BC，垂足为N（如图），可以得出Rt△AME∽Rt△QMG，可以求出MG=2

2

，最后由三角形的面积公式求出即可判断①．
作EW⊥CD于W，MQ⊥BC于Q易证△EFW和△MGQ，根据全等三角形的性质推出EF=MG，即可判断②；
求出EM=2，求出FM，得出MG=EF=4，在△FMG中根据勾股定理求出FG，即可判断③；
当E在A点时，P为正方形中心当E运动到B点时，P运动到P'，证Rt△MPP'∽Rt△EMG推出PP'=2MP=2，即可判断④．

解答：解：
过M作MQ⊥BC于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=2，∠A=∠B=90°，
∴∠A=∠B=∠BQM=90°，
∴四边形ABQM数矩形，
∴MQ=AB=2，
∵E、M分别为AB、AD中点，
∴AE=AM=1，AM=MD，
由勾股定理得：EM=

12+12

=

2

，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADF=90°，AB∥CD，
∴∠AEM=∠DFM，
∵在△AEM和△DFM中

∠A=∠MDF ∠AEM=∠DFM AM=DM

，
∴△AEM≌△DFM（AAS），
∴EM=MF=

2

，
∴EF=2

2

，
∵四边形ABQM是矩形，
∴∠AMQ=90°，
∵∠EMG=90°，
∴∠AME+∠EMQ=90°，∠EMQ+∠QMG=90°，
∴∠AME=∠QMG，
∵在△AME和△QGM中，∠A=∠MQG=90°，∠AME=∠QMG，
∴△AME∽△QMG，
∴

AE

AM

=

QG

MQ

=

1

1

，
∴MQ=QG=2，
在Rt△MQG中，由勾股定理得：MG=2

2

，
∴S_△EFG=

1

2

EF×MG=

1

2

×2

2

×2

2

=4，∴①错误；

过E作EW⊥CD于W，
∵MQ⊥BC，四边形ABCD是正方形，

∴EW=AD=MQ=AB，∠MHE=90°，
∵∠EMG=90°，
∴∠MEG+∠EMH=90°，∠EMH+∠GMH=90°，
∴∠MEH=∠QMG，
∵在△FEW和△GMQ中

∠FEW=∠GMQ EW=MQ ∠EWF=∠MQG=90°

，
∴△FEW≌△GMQ（ASA），
∴EF=MG，∴②正确；
∵∠A=90°，AM=1，AE=

3

，
∴由勾股定理得：EM=2=FM，
∴MG=EF=2+2=4，
在Rt△FMG中，由勾股定理得：FG=

FM2+MG2

=2√5，∴③正确；

当E在A点时，P为正方形中心
当E运动到B点时，P运动到P'，
∵△ABM∽△MGB（已证），

AM

AB

=

BM

MG

=

1

2

，
∵P为MQ的中点，P′为MG中点，
∴PP′∥BC，
∴∠MPP′=∠MQG=90°=∠BMG，∠MP′P=∠MGB，
∴△MPP'∽△BGM，
∴

MP

PP′

=

MB

MG

=

1

2

，
∴PP'=2MP=2，∴④正确；
即正确的有3个．
故选C．

点评：本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目综合性比较强，难度偏大，对学生提出了较高的要求．