题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为
（2，0）、（1，3| 3 |
| 3 |
（1）求证：四边形ABCO是平行四边形；
（2）求a的值并说明点B在抛物线上；
（3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求点P的坐标；
（4）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标．
分析：（1）由旋转的性质可知：△AOC≌△ABC，由此可得出四边形AOCB的两组对边分别对应相等．由此可得证．
（2）由于抛物线过A点，因此可将A点的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值和抛物线的解析式．
要判断B是否在抛物线的解析式上，首先要求出B点的坐标，由于四边形APCB是平行四边形，OA=2，因此将C点向右平移2个单位即可得出B点的坐标，然后将B的坐标代入抛物线的解析式中即可判断出B是否在抛物线上．
（3）先根据（2）的抛物线的解析式求出顶点D的坐标，然后求出OB、AD的长，当∠APD=∠OAB时，可得出△APD∽△OAB，进而可得出关于AP，AD、OA、OB的比例关系式．设出P点的坐标，然后用P的横坐标表示出AP的长，即可根据上面的比例关系式求出P点的坐标．
（4）①如第一个图：此时QD=AP=1，因此OP=OA-1=1，P点的坐标为（1，0）；
②如第二个图：此时OP=OA+AP=3，P点的坐标为（3，0）；
③如第三个图：此时D，Q两点的纵坐标互为相反数，因此Q点的坐标为（0，
），根据A，D的坐标可求出直线AD的解析式为y=
x-2
，由于QP∥AD，因此直线PQ的解析式为y=
x+
，可求得P点的坐标为（-1，0）．
（2）由于抛物线过A点，因此可将A点的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值和抛物线的解析式．
要判断B是否在抛物线的解析式上，首先要求出B点的坐标，由于四边形APCB是平行四边形，OA=2，因此将C点向右平移2个单位即可得出B点的坐标，然后将B的坐标代入抛物线的解析式中即可判断出B是否在抛物线上．
（3）先根据（2）的抛物线的解析式求出顶点D的坐标，然后求出OB、AD的长，当∠APD=∠OAB时，可得出△APD∽△OAB，进而可得出关于AP，AD、OA、OB的比例关系式．设出P点的坐标，然后用P的横坐标表示出AP的长，即可根据上面的比例关系式求出P点的坐标．
（4）①如第一个图：此时QD=AP=1，因此OP=OA-1=1，P点的坐标为（1，0）；
②如第二个图：此时OP=OA+AP=3，P点的坐标为（3，0）；
③如第三个图：此时D，Q两点的纵坐标互为相反数，因此Q点的坐标为（0，
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
解答：
（1）证明：∵△AOC绕AC的中点旋转180°，
点O落到点B的位置，
∴△ACO≌△CAB．
∴AO=CB，CO=AB，
∴四边形ABCO是平行四边形．
（2）解：∵抛物线y=ax2-2
x经过点A，
点A的坐标为（2，0），
∴4a-4
=0，
解得：a=
．
∴y=
x2-2
x．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA∥CB．
∵点C的坐标为（1，3
），
∴点B的坐标为（3，3
）．
把x=3代入此函数解析式，得：y=
×32-2
×3=3
．
∴点B的坐标满足此函数解析式，点B在此抛物线上．
∴顶点D的坐标为（1，-
）．
（3）连接BO，
过点B作BE⊥x轴于点E，
过点D作DF⊥x轴于点F．
tan∠BOE=
，tan∠DAF=
，
∴tan∠BOE=tan∠DAF．
∴∠BOE=∠DAF．
∵∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB．
设点P的坐标为（x，0），
∴
=
，
∴
=
，
解得：x=
．
∴点P的坐标为（
，0）．
（4）
分三种情况进行讨论：
①如第一个图：此时QD=AP=1，因此OP=OA-1=1，P点的坐标为（1，0）；
②如第二个图：此时OP=OA+AP=3，P点的坐标为（3，0）；
③如第三个图：此时D，Q两点的纵坐标互为相反数，因此Q点的坐标为（0，
），根据A，D的坐标可求出直线AD的解析式为y=
x-2
，由于QP∥AD，因此直线PQ的解析式为y=
x+
，可求得P点的坐标为（-1，0）．
综上所述，共有3个符合条件的P点的坐标，即P1（1，0），P2（-1，0），P3（3，0）．
（1）证明：∵△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，
∴△ACO≌△CAB．
∴AO=CB，CO=AB，
∴四边形ABCO是平行四边形．
（2）解：∵抛物线y=ax2-2
| 3 |
点A的坐标为（2，0），
∴4a-4
| 3 |
解得：a=
| 3 |
∴y=
| 3 |
| 3 |
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA∥CB．
∵点C的坐标为（1，3
| 3 |
∴点B的坐标为（3，3
| 3 |
把x=3代入此函数解析式，得：y=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴点B的坐标满足此函数解析式，点B在此抛物线上．
∴顶点D的坐标为（1，-
| 3 |
（3）连接BO，
过点B作BE⊥x轴于点E，
过点D作DF⊥x轴于点F．
tan∠BOE=
| 3 |
| 3 |
∴tan∠BOE=tan∠DAF．
∴∠BOE=∠DAF．
∵∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB．
设点P的坐标为（x，0），
∴
| AP |
| OA |
| AD |
| OB |
∴
| 2-x |
| 2 |
| 2 |
| 6 |
解得：x=
| 4 |
| 3 |
∴点P的坐标为（
| 4 |
| 3 |
（4）
分三种情况进行讨论：
①如第一个图：此时QD=AP=1，因此OP=OA-1=1，P点的坐标为（1，0）；
②如第二个图：此时OP=OA+AP=3，P点的坐标为（3，0）；
③如第三个图：此时D，Q两点的纵坐标互为相反数，因此Q点的坐标为（0，
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
综上所述，共有3个符合条件的P点的坐标，即P1（1，0），P2（-1，0），P3（3，0）．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形相似、平行四边形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
练习册系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数
∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．