Question

如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，点A、C分别在直线y=2x和x轴上，若点A在直线y=2x上运动．
（1）当点A运动到横坐标x=3时，写出点C的坐标．
（2）写出x=1时，直线AC的函数解析式．
（3）若点A横坐标为m，且满足1≤m≤3时，请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积．

Answer 1

分析：（1）把x=2代入y=2x求出A的坐标，根据正方形性质求出B、C的坐标；
（2）求出A、C的坐标，设直线AC的函数解析式为y=kx+b，把A、C的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（3）根据图形得出面积是一个梯形EFCA的面积，根据AC的解析式求出E、F的坐标，分别求出△OEF和△OAC的面积，相减即可求出答案．

解答：解：（1）当x=3时，y=2x=6，则A（3，6）
∴B（9，6）
∴C（9，0）．

（2）x=1时，y=2x=2，
∴A（1，2），
∴B（3，2），
∴C（3，0），
设直线AC的函数解析式为：y=kx+b，
∴

0=3k+b 2=k+b

，
解得：k=-1，b=3，
∴y=-x+3，
即AC的函数表达式为：y=-x+3．

（3）对角线AC扫过的四边形的形状为梯形为梯形EFCA，
当1≤m≤3时，由（2）得m=1
∴A（1，2），
即E（1，2），
此时C（3，0），
即F（3，0），
∵直线AC的解析式为y=-x+3
∴它与x轴的交点为C的坐标是（3，0）
又由（1）知A（3，6），C（9，0）
△AOC的面积=

1

2

×9×6=27，
△OEF的面积=

1

2

×3×2=3
扫过的面积S_梯形EFCA=27-3=24，
答：对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积是24．

点评：本题考查了解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，点的坐标，正方形的性质等知识点的运用，综合运用性质进行计算是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．