题目内容

(2003•湘潭)如图,已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,DP是⊙O1的切线,切点为P,直线PD交⊙O2于C、Q,交AB的延长线于D.
(1)求证:DP2=DC•DQ;
(2)若QA也是⊙O1的切线,求证:方程x2-2PBx+BC•AB=0有两个相等的实数根;
(3)若点C为PQ的中点,且DP=y,DC=x,求y与x的函数关系式,并求S△ADC:S△ACQ的值.

【答案】分析:(1)可根据切割线定理进行求解,由于DP是圆O1的切线,那么DP2=DB•DA=DC•DQ;
(2)要证方程有两个相等的实数根,那么PB2=BC•AB,也就是证三角形BPC和APB相似,可连接AP,通过证两三角形相似来得出本题的结论;
(3)在(1)中已经得出了DP2=DC•DQ,DP=y,CD=x,DQ=PQ-PD=2(PD+DC)-PD=2x+y,由此可得出y、x的函数关系式.
因为三角形ACD和ACQ等高,因此只需得出DC,DQ的比例关系即可得出面积比.上面已经得出了x,y的函数关系式,而DC=x,DQ=2x+y,只需将x、y的函数关系式代入DC:DQ中,即可得出两三角形的面积比.
解答:(1)证明:∵DP是⊙O1的切线,
∴DP2=DB•DA,
又∵DB•DA=DC•DQ,
∴DP2=DC•DQ.

(2)证明:连接PA.
在△BPC与△APB中,
∵四边形ABCD是⊙O2的内接四边形,
∴∠PCB=∠QAB,
∵QA是⊙O1的切线,
∴∠QAB=∠APB,
∴∠PCB=∠APB,
又∵DP是⊙O1的切线,
∴∠BPC=∠BAP,
∴△BPC∽△APB,
=
∴PB2=BC•AB,
而方程x2+2PBx+4BC•AB=0的根的判别式为:
△=(2PB)2-4BC•AB=4(PB2-BC•AB),
∴△=0,
∴原方程有两个相等的实数根.

(3)解:由(1)得DP2=DC•DQ,
∵DP=y,DC=x,C为PQ的中点,
∴DQ=2x+y,
∴y2=x(2x+y),
整理得y2-xy-2x2=0,
∴(x+y)(y-2x)=0,
又∵x>0,y>0,
∴x+y≠0,
∴y-2x=0,
故所求函数关系式是:y=2x,
∴S△ADC:S△ACD=DC:QC=x:(x+y)=x:3x=1:3.
点评:本题主要考查了切线的性质,相似三角形的判定和二次方程的综合应用等知识点,本题有难度.
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