题目内容
如图,在平面直角坐标系中.正方形OABC的边长是4,点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,动点P从点A开始,以每秒2个单位长度的速度在线段AB上来回运动.动点Q从点B开始沿B→C→O的方向.以每秒1个单位长度的速度向点O运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点O时,P、Q两点间时停止运动.设运动时间为t.△OPQ的面积为S.
(I)当t=1时,S=
(2)当0≤t≤2时.求满足△BPQ的面积有最大值的P、Q两点坐标.
(3)在P,Q两点运动的过程中,是否存在某一时刻,使用S=6?若存在.请直接写出所有符合条件的P点坐标;若不存在.请说明理由.
(I)当t=1时,S=
5
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.(2)当0≤t≤2时.求满足△BPQ的面积有最大值的P、Q两点坐标.
(3)在P,Q两点运动的过程中,是否存在某一时刻,使用S=6?若存在.请直接写出所有符合条件的P点坐标;若不存在.请说明理由.
分析:(1)△OPQ的面积=正方形的面积-△OAP的面积-△OCQ的面积-△BPQ的面积,依此列式计算即可求解;
(2)由题意得,当0≤t≤2时,PA=2t,PB=4-2t,BQ=t,CQ=4-t.根据三角形面积可得△BPQ的面积=-(t-1)2+1,
依此即可求解;
(3)分当0≤t≤2时,当2<t≤4时,当4<t<8时,三种情况讨论可求符合条件的P点坐标.
(2)由题意得,当0≤t≤2时,PA=2t,PB=4-2t,BQ=t,CQ=4-t.根据三角形面积可得△BPQ的面积=-(t-1)2+1,
依此即可求解;
(3)分当0≤t≤2时,当2<t≤4时,当4<t<8时,三种情况讨论可求符合条件的P点坐标.
解答:解:(1)当t=1时,AP=2,BQ=1,则BP=2,CQ=3,
△OPQ的面积=4×4-
×4×2-
×4×3-
×2×1=16-4-6-1=5;
(2)由题意得,当0≤t≤2时,PA=2t,PB=4-2t,BQ=t,CQ=4-t.
△BPQ的面积=
PB•BQ=
t(4-2t)=-t2+2t=-(t-1)2+1,
故当t=1时,△BPQ的面积的最大值是1.
此时,P(2,4)、Q(4,3).
(3)当0≤t≤2时,PA=2t,PB=4-2t,BQ=t,CQ=4-t.
S=4×4-
×4×2t-
t(4-2t)-
×4(4-t)=6,
解得t1=2-
,t2=2+
(不合题意舍去),
P点坐标为(4-2
,4);
当2<t≤4时,OQ=4-t.
S=4×4-
×4×(8-2t)-
t(2t-4)-
×4(4-t)=6,
解得t1=4-
,t2=4+
(不合题意舍去),
P点坐标为(2
,4);
当4<t<8时,OQ=8-t.
S=
×4(8-t)=6,
解得t=5,
P点坐标为(2,4).
综上所述,P点坐标为(4-2
,4);(2
,4);(2,4).
故答案为:5.
△OPQ的面积=4×4-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)由题意得,当0≤t≤2时,PA=2t,PB=4-2t,BQ=t,CQ=4-t.
△BPQ的面积=
1 |
2 |
1 |
2 |
故当t=1时,△BPQ的面积的最大值是1.
此时,P(2,4)、Q(4,3).
(3)当0≤t≤2时,PA=2t,PB=4-2t,BQ=t,CQ=4-t.
S=4×4-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
解得t1=2-
2 |
2 |
P点坐标为(4-2
2 |
当2<t≤4时,OQ=4-t.
S=4×4-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
解得t1=4-
2 |
2 |
P点坐标为(2
2 |
当4<t<8时,OQ=8-t.
S=
1 |
2 |
解得t=5,
P点坐标为(2,4).
综上所述,P点坐标为(4-2
2 |
2 |
故答案为:5.
点评:考查了相似形综合题,涉及的知识点有:正方形的面积,三角形面积,二次函数的最值,分类思想的运用,(3)问的难度较大.
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