题目内容
【题目】综合题
（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；
（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；
（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．
【答案】
（1）解：连接AG，
∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，
∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，
∴A，G，C共线，AB﹣AE=AD﹣AH，
∴HD=BE，
∵AG= 
= 
AE，AC= 
= AB，
∴GC=AC﹣AG= AB﹣ AE= （AB﹣AE）= BE，
∴HD：GC：EB=1： ：1；
（2）解：连接AG、AC， 
∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，
∴AD：AC=AH：AG=1： ，∠DAC=∠HAG=45°，
∴∠DAH=∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC=AD：AC=1： ，
∵∠DAB=∠HAE=90°，
∴∠DAH=∠BAE，
在△DAH和△BAE中，
，
∴△DAH≌△BAE（SAS），
∴HD=EB，
∴HD：GC：EB=1： ：1；
（3）解：有变化，
连接AG、AC， 
DA：AB=HA：AE=m：n，
∵∠ADC=∠AHG=90°，
∴△ADC∽△AHG，
∴AD：AC=AH：AG=m： 
，∠DAC=∠HAG，
∴∠DAH=∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC=AD：AC=m： ，
∵∠DAB=∠HAE=90°，
∴∠DAH=∠BAE，
∵DA：AB=HA：AE=m：n，
∴△ADH∽△ABE，
∴DH：BE=AD：AB=m：n，
∴HD：GC：EB=m： ：n．
【解析】（1）首先连接AG，由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，易证得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共线，继而可得HD=BE，GC=BE，即可求得HD：GC：EB的值；
（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与全等三角形的性质，即可求得HD：GC：EB的值；
（3）连接AG、AC， 由DA：AB=HA：AE=m：n，易证得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD：GC：EB的值
【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形和勾股定理的概念，需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．
