题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,经过圆上点D的直线CD恰∠ADC=∠B。
(1)求证:直线CD是⊙O的的切线;
(2)过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E,且AB=,BD=2,求线段AE的长。
【答案】解:(1)证明:连接OD,
∵OB=OD,∴∠ODB=∠B。
又∵∠ADC=∠B,∴∠ODB=∠ADC。
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=900。
∴∠ODC=∠ADC +∠ADO= ∠ODB+∠ADO= ∠ADB=900。
又 ∵OD是⊙O的半径,∴直线CD是⊙O的的切线。
BC=OC﹣OB=30﹣20=10(千米)。
(2)在Rt△ABD中,∵AB=,BD=2,∴根据勾股定理得AD=1。
∵AE⊥AB,∴∠EAB=900。∴∠EAB=∠ADB =900。
又∵∠B=∠B,∴△ABD∽△EBA。∴,即。∴。
【解析】(1)连接OD,只要证明∠ODC=∠ADC +∠ADO= ∠ODB+∠ADO= ∠ADB=900即可。
(2)根据勾股定理求得AD=1,则由△ABD∽△EBA可列比例式求解。