Question

【题目】数学课上张老师将课本页第题进行了改编，图形不变.请你完成下面问题.

如图，.求证：

如图，.求证：

如图,求证：

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）连接CD．根据等边对等角，得到∠BCD=∠BDC，进而得到∠ACD=∠ADC．根据等角对等边得到AC=AD．由SSS即可得到结论；

（2）过点B分别作BE⊥AC，BF⊥AD，垂足分别为E，F．根据角平分线的性质得到BE=BF．再由HL证明Rt△BCERt△BDF，根据全等三角形对应角相等得到∠C=∠D，进而由AAS即可证明△ABC△ABD；

（3）过点A分别作AE⊥BD，AF⊥BC，垂足分别为E，F．先证明点A在∠EBF的平分线上，由角平分线的性质即可得到AE=AF．由HL证明Rt△AED≌Rt△AFC，由全等三角形对应角相等得到∠C=∠D．根据AAS即可证明△ABC≌△ABD．

（1）连接CD．

∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC．

∵∠ACB==∠ADB，∴∠ACB+∠BCD=∠ADB+∠BDC，即∠ACD=∠ADC，∴AC=AD．

在△ABC和△ABD中，∵AC=AD，BC=BD，AB=AB，∴△ABC≌△ABD；

（2）过点B分别作BE⊥AC，BF⊥AD，垂足分别为E，F，∴∠BEC=∠BFD=90°．

∵∠CAB=∠DAB，即点B在∠CAD的平分线上，BE⊥AC，BF⊥AD，垂足分别为E，F，∴BE=BF．

在Rt△BCE和Rt△BDF中，∵BC=BD，BE=BF，∴Rt△BCE≌Rt△BDF，∴∠C=∠D．

在△ABC和△ABD中，∵∠C=∠D，∠CAB=∠DAB，AB=AB，∴△ABC≌△ABD；

（3）如图3，过点A分别作AE⊥BD，AF⊥BC，垂足分别为E，F，∴∠AED=∠AFC=90°．

∵∠ABC+∠ABF=∠ABD+∠ABE=180°，∠ABC=∠ABD，∴∠ABF=∠ABE，即点A在∠EBF的平分线上．

∵AE⊥BD，AF⊥BC，垂足分别为E，F，∴AE=AF．

在Rt△AED和Rt△AFC中，∵AD=AC，AE=AF，∴Rt△AED≌Rt△AFC，∴∠C=∠D．

在△ABC和△ABD中，∵∠C=∠D，∠ABC=∠ABD，AB=AB，∴△ABC≌△ABD．