Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．

（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线和反射点P3；

（2）当⊙O的半径为1时，如图3：

①第一象限内的一条入射光线平行于y轴，且自⊙O的外部照射在圆上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与x轴平行，则反射光线与切线l的夹角为___________°；

②自点M（0，1）出发的入射光线，在⊙O内顺时针方向不断地反射．若第1个反射点是P1，第二个反射点是P2，以此类推，第8个反射点是P8恰好与点M重合，则第1个反射点P1的坐标为___________；

（3）如图4，点M的坐标为（0，2），⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）①45°；②（， ）或（， ）；（3）．

【解析】试题分析：（1）（2）两个问题，要根据题意，画出图象，可以解决．

（3）当反射光线平行x轴时，反射光线与坐标轴没有交点，只要求出这样的反射点，就可以解决这个问题了．

试题解析：（1）如图：

（2）①由题意：∠1=∠2，∠APB=90°，

∴∠1=45°，

∴反射光与切线的夹角为45°．

②由题意：这些反射点组成的多边形是正十二边形或正六边形，

当是正十二边形时，入射光线与反射光线夹角为150°，

∴∠AOP1=30°，

∵OP1=1，

∴P1（-， ）．

当是正六边形时，易知P1（-， ），

综上所述满足条件的点P坐标为（-， ）或（-， ）．

（3）如图：当反射光PA∥X轴时，反射光线与坐标轴没有交点，作PD⊥OC，PN⊥OM垂足分别为M，N，设OP=OC=a，PC=b，

则有，

解得b=（负根已经舍弃）

∵，

∴PD=，

当OP与⊙M相切时，可得点P的纵坐标为，

∴满足条件的反射点P的纵坐标y： ≤y＜．