题目内容

如图，直线l₁：y=-x+1与两直线l₂：y=2x，l₃：y=x分别相交于M、N两点．设点P为x轴上的一点，过点P的直线l：y=-x+b与直线l₂、l₃分别交于A、C两点，以线段AC为对角线作正方形ABCD．
（1）写出正方形ABCD各顶点的坐标（用b表示）；
（2）当点P从原点O出发，沿着x轴的正方向运动时，设正方形ABCD和△OMN重叠部分的面积为S，求S与b之间的函数关系式，并写出自变量b的取值范围．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ，
∴A $\text{[math]}$ ，
同理C $\text{[math]}$ ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC∥y轴，AD∥BC∥x轴，
可得B $\text{[math]}$ ，D $\text{[math]}$ ；

（2）当D在l₁（11）上时（如图1）， $\text{[math]}$ （12），
当B在l₁（13）上时（如图2）， $\text{[math]}$ ；

当 $\text{[math]}$ 时（如图1、3），直线l在直线l₁上或下方，点D在直线l₁上或下方，
∵正方形ABCD的边长 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时（如图4），直线l在直线l₁下方，点D在直线l₁上方，
设DC与直线l₁交于点E，则E $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时，直线l在直线l₁上或上方，且点B在l₁下方，（如图5），若设AB与直线l₁交于点F，则F $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时，直线l在直线l₁上方，且点B在l₁上或上方（如图2），S=0．

分析：（1）联立y=-x+b，y=2x求出点A，C的坐标．同理求出B，D的坐标．
（2）本题考查的是分段函数的有关知识．当D在l₁上是b= $\text{[math]}$ ，B在l₁上是b= $\text{[math]}$ ；然后根据实际分成 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 时三种情况，S的面积都不同．
点评：本题考查的是一次函数的综合应用，重点是考查考生考虑问题的能力，要学会全面分析题目然后才得解．