题目内容
如下图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,DE∥AB,交AC于D,交BC于E,CF⊥DE于F,DE在△ABC内作平行运动,问DE为何值时,△ADE的面积最大,并求出这个最大值.
答案:
解析:
解析:
简解:延长CF交AB于H.
易求得AB=5,CH=.
设FH=x,则CF=-x.
∵DE∥AB.
∴=
∴DE=5-x.
又设△ADE的面积为y,于是
y=DE·FH=(5-x)·x
=-x2+x
=-(x-)2+(0<x<).
∴当x=,即DE=时,△ADE的面积最大,最大值为.
分析:DE作为△ADE的底,延长CF交AB于H,可得到△ADE的高FH,通过设未知数建立等式向函数转化.
简评:几何问题向函数转化,函数的最大值发挥了决定的作用.
综上,解决几何最值问题,可直接考虑应用几何中的公里、定理,如线段最短公里、垂线段最短、角的不等关系等;或考虑取线段、点的极端位置,然后通过计算求最值;或把几何问题代数比,向方程、不等式、函数转化,用代数法求最值.解题时要根据题目特点具体分析,灵活掌握.
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