Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（3，0），B（0，－3）两点，点P是直线AB上一动点，过点P作轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t，
【小题1】分别求直线AB和这条抛物线的解析式（4分）
【小题2】若点P在第四象限，连结BM、AM，当线段PM最长时，求的面积。（4分）
③ 【小题3】是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由（3分）。

Answer 1

【小题1】把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x²+mx+n，得

解得，
所以抛物线的解析式是y=x²﹣2x﹣3．
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，
解得，
所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（4分）
【小题2】设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t²﹣2t﹣3），
因为p在第四象限，
所以PM=（t﹣3）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣t²+3t，
当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，
则S_△ABM=S_△BPM+S_△APM==．（4分）
【小题3】存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．
②当P在第一象限：PM=OB=3，（t²﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t₁=，t₂=（舍去），所以P点的横坐标是；
③当P在第三象限：PM=OB=3，t²﹣3t=3，解得t₁=（舍去），t₂=，所以P点的横坐标是．
所以P点的横坐标是或．
解析:
（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x²+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t²﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣t²+3t，然后根据二次函数的最值得到
当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S_△ABM=S_△BPM+S_△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t²﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t²﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．