题目内容

已知a、b、c是△ABC的三条边长,若x=-1为关于x的一元二次方程(c-b)x2-2(b-a)x+(a-b)=0的根.
(1)△ABC是等腰三角形吗?△ABC是等边三角形吗?请写出你的结论并证明;
(2)若代数式子
a-2
+
2-a
有意义,且b为方程y2-8y+15=0的根,求△ABC的周长.
分析:(1)根据方程的解的定义把x=-1代入方程(c-b)x2-2(b-a)x+(a-b)=0,可得c=a,根据一元二次方程的定义可知c≠b,所以△ABC不是等边三角形是等腰三角形;
(2)根据二次根式的意义可知,
a-2≥0
2-a≥0
,所以a=2,所以c=a=2,解方程y2-8y+15=0,结合b<a+c可求得b=3,所以△ABC的周长为7.
解答:解:
(1)△ABC是等腰三角形,△ABC不是等边三角形;
理由如下:
∵x=-1为方程(c-b)x2-2(b-a)x+(a-b)=0的根,
∴(c-b)+2(b-a)+(a-b)=0,
∴c=a,
∵a、b、c是△ABC的三条边长
∴△ABC为等腰三角形,
∵c-b≠0,
∴c≠b,
∴△ABC不是等边三角形;

(2)依题意,得
a-2≥0
2-a≥0

∴a=2,
∴c=a=2,
解方程y2-8y+15=0得y1=3,y2=5;
∵b为方程y2-8y+15=0的根,且b<a+c,
∴b的值为3,
∴△ABC的周长为7.
点评:主要考查了一元二次方程解的定义,等腰三角形的判定和二次根式的意义;要会利用方程的解和几何图形结合起来,利用数形结合的思想进行解题.
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