题目内容
【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1,与y轴交于点C,下面四个结论:
①16a+4b+c>0:
②若P(﹣5,y1),Q(,y2)是函数图象上的两点,则y1<y2;
③c=3a;
④若△ABC是等腰三角形,则b=﹣或﹣.
其中正确的有_____.(请将正确结论的序号全部填在横线上)
【答案】①④.
【解析】
①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知:当x=-4时,y<0,即16a-4b+c<0;②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-3,1确定对称轴是:x=-1,可得:(﹣4.5,y3)与Q(,y2)是对称点,所以y1<y2;③根据对称轴和x=1时,y=0可得结论;④要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,先计算c的值,再联立方程组可得结论.
解:①∵a<0,
∴抛物线开口向下,
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1,
∴当x=﹣4时,y<0,
即16a﹣4b+c<0;
故①正确,符合题意;
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1,
∴抛物线的对称轴是:x=﹣1,
∵P(﹣5,y1),Q(,y2),
﹣1﹣(﹣5)=4,﹣(﹣1)=3.5,
由对称性得:(﹣4.5,y3)与Q(,y2)是对称点,
∴则y1<y2;
故②不正确,不符合题意;
③∵﹣=﹣1,
∴b=2a,
当x=1时,y=0,即a+b+c=0,
∴3a+c=0,
∴c=﹣3a,
故③错误,不符合题意;
④要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,
当AB=BC=4时,
∵BO=1,△BOC为直角三角形,
又∵OC的长即为|c|,
∴c2=16﹣1=15,
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,
∴c= ,
与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组,解得b=﹣;
同理当AB=AC=4时,
∵AO=3,△AOC为直角三角形,
又∵OC的长即为|c|,
∴c2=16﹣9=7,
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,
∴c=,
与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组,解得b=﹣;
同理当AC=BC时,
在△AOC中,AC2=9+c2,
在△BOC中,BC2=c2+1,
∵AC=BC,
∴1+c2=c2+9,此方程无实数解.
经解方程组可知有两个b值满足条件.
故④正确,符合题意.
综上所述,正确的结论是①④.
故答案是:①④.