题目内容

【题目】二次函数yax2+bx+ca0)的图象与x轴的两个交点AB的横坐标分别为﹣31,与y轴交于点C,下面四个结论:

16a+4b+c0

②若P(﹣5y1),Qy2)是函数图象上的两点,则y1y2

c3a

④若△ABC是等腰三角形,则b=﹣或﹣

其中正确的有_____.(请将正确结论的序号全部填在横线上)

【答案】①④.

【解析】

①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知:当x=-4时,y0,即16a-4b+c0;②根据图象与x轴的交点AB的横坐标分别为-31确定对称轴是:x=-1,可得:(﹣4.5y3)与Qy2)是对称点,所以y1y2;③根据对称轴和x=1时,y=0可得结论;④要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4AB=AC=4AC=BC,先计算c的值,再联立方程组可得结论.

解:①∵a0

∴抛物线开口向下,

∵图象与x轴的交点AB的横坐标分别为﹣31

∴当x=﹣4时,y0

16a4b+c0

故①正确,符合题意;

②∵图象与x轴的交点AB的横坐标分别为﹣31

∴抛物线的对称轴是:x=﹣1

P(﹣5y1),Qy2),

1﹣(﹣5)=4﹣(﹣1)=3.5

由对称性得:(﹣4.5y3)与Qy2)是对称点,

∴则y1y2

故②不正确,不符合题意;

③∵﹣=﹣1

b2a

x1时,y0,即a+b+c0

3a+c0

c=﹣3a

故③错误,不符合题意;

④要使△ACB为等腰三角形,则必须保证ABBC4ABAC4ACBC

ABBC4时,

BO1,△BOC为直角三角形,

又∵OC的长即为|c|

c216115

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,

c

b2aa+b+c0联立组成解方程组,解得b=﹣

同理当ABAC4时,

AO3,△AOC为直角三角形,

又∵OC的长即为|c|

c21697

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,

c

b2aa+b+c0联立组成解方程组,解得b=﹣

同理当ACBC时,

在△AOC中,AC29+c2

在△BOC中,BC2c2+1

ACBC

1+c2c2+9,此方程无实数解.

经解方程组可知有两个b值满足条件.

故④正确,符合题意.

综上所述,正确的结论是①④.

故答案是:①④.

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