Question

已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数y＝a x2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A、B，与y轴相交于点C． (1) a、c的符号之间有何关系？ (2) 如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数； (3) 在(2)的条件下，如果b＝－4，AB＝，求a、c的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：a、c同号(或当a＞0时，c＞0，当a＜0时，c＜0)．
(2)	证明：设点A的坐标为(x1，0)，点B的坐标为(x2，0)，则0＜x1＜x2．∴OA＝x1,OB＝x2，OC＝｜c｜，据题意，x1，x2是方程a x2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，∴x1·x2＝，由题意，得OA·OB＝OC2，即＝｜c｜2＝c2．∵c≠0，∴，即ac＝1．所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数．
(3)	解：当b＝－4时，由(2)知，x1＋x2＝－＝＞0，∴a＞0． 解法一：AB＝OB－OA＝x2－x1＝，∴AB＝＝＝．∵AB＝，∴＝．得a＝，∴c＝2． 解法二：由求根公式，，∴x1＝，x２＝．∴AB＝BO－OB＝x2－x1＝－＝．∵AB＝＝，∴＝．得a＝，∴c＝2．