Question

已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点A()、B().

(1)求这个抛物线的解析式；

(2) 设（1）中抛物线与轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，

试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；

(3) P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥轴，与抛物线交于H点，

若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标.

 

Answer 1

【答案】

（1）抛物线的解析式为y=﹣x²﹣4x+5 

（2）C点的坐标为（﹣5，0）．点D（﹣2，9）；15

（3）P点的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）

【解析】

试题分析：（1）解方程x²﹣6x+5=0，

得x₁=5，x₂=1

由m＜n，有m=1，n=5

所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．

将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=﹣x²+bx+c．

得   解这个方程组，得

所以，抛物线的解析式为y=﹣x²﹣4x+5

（2）由y=﹣x²﹣4x+5，令y=0，得﹣x²﹣4x+5=0

解这个方程，得x₁=﹣5，x₂=1

所以C点的坐标为（﹣5，0）．由顶点坐标公式计算，

得点D（﹣2，9）

过D作x轴的垂线交x轴于M．

则S_△DMC=×9×（5﹣2）=

S_梯形MDBO=×2×（9+5）=14，

S_△BOC=×5×5=

所以，S_△BCD=S_梯形MDBO+S_△DMC﹣S_△BOC=14+﹣=15

答：点C、D的坐标和△BCD的面积分别是：（﹣5，0）、（﹣2，9）、15；

（3）设P点的坐标为（a，0）

因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．

那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），

PH与抛物线y=﹣x²﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a²﹣4a+5）．

由题意，得①EH=EP，

即（﹣a²﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）

解这个方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去）

②EH=EP，即（﹣a²﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）

解这个方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去），

P点的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）

考点：抛物线

点评：本题考查抛物线，掌握抛物线的性质是解本题的关键，掌握待定系数法，会用待定系数法求函数的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标