题目内容
【题目】探索与运用:
(1)基本图形:如图①,已知OC是∠AOB的角平分线,DE∥OB,分别交OA、OC于点D、E.求证:DE=OD;
(2)在图②中找出这样的基本图形,并利用(1)中的规律解决这个问题:已知△ABC中,两个内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,交AB、AC于点D、E.求证:DE=BD+CE;
(3)若将图②中两个内角的角平分线改为一个内角(如图③,∠ABC)、一个外角(∠ACF)和两个都是外角(如图④∠DBC、∠BCE)的角平分线,其它条件不变,则线段DE、BD、CE的数量关系分别是:图③为 、图④为 :并从中任选一个结论证明.
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
【解析】
试题分析:(1)根据角平分线的定义得到∠AOC=∠BOC,根据平行线的性质得到∠DEO=∠BOC,等量代换得到∠DEO=AOC,根据等腰三角形的判定即可得到结论;
(2)根据△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.求证∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠BCO,再利用两直线平行内错角相等,求证出∠DOB=∠DBO,∠COE=∠BCO,即BD=DO,OE=CE,然后利用等量代换即可求出结论;
(3)选③证明:由(1)中证明可得:DB=DO,EO=EC,根据线段的和差即可得到结论
证明:(1)∵OC平分∠AOB,
∴∠AOC=∠BOC,
∵DE∥OB,
∴∠DEO=∠BOC,
∴∠DEO=AOC,
∴DE=OD;
(2)∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠BCO,
∵DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.
∴∠DOB=∠DBO,∠COE=∠ECO,
∴BD=DO,OE=CE,
∴DE=BD+CE;
(3)图③:DE=BD﹣CE,图④:DE=BD+CE,
选③证明:
由(1)中证明可得:DB=DO,EO=EC,
∴DE=OD=OE=DB﹣CE.
故答案为:DE=BD﹣CE,DE=BD+CE.