题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，线段BC与抛物线的对称轴交于点E、P为线段BC上的一点（不与点B、C重合），过点P作PF∥y轴交抛物线于点F，连结DF．设点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线所对应的函数表达式．
（2）求PF的长度，用含m的代数式表示．
（3）当四边形PEDF为平行四边形时，求m的值．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）-m2+3m．（3）2.
【解析】
试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据平行于y轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标，根据平行于y轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得DE的长，根据平行四边形的对边相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值．
试题解析：（1）∵点A（-1，0），点B（3，0）在抛物线y=-x2+bx+c上，
∴
，解得
，
此抛物线所对应的函数表达式y=-x2+2x+3；
（2）∵此抛物线所对应的函数表达式y=-x2+2x+3，
∴C（0，3）．
设BC所在的直线的函数解析式为y=kx+b，将B、C点的坐标代入函数解析式，得
，解得
，
即BC的函数解析式为y=-x+3．
由P在BC上，F在抛物线上，得
P（m，-m+3），F（m，-m2+2m+3）．
PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m．
（3）如图
，
∵此抛物线所对应的函数表达式y=-x2+2x+3，
∴D（1，4）．
∵线段BC与抛物线的对称轴交于点E，
当x=1时，y=-x+3=2，
∴E（1，2），
∴DE=4-2=2．
由四边形PEDF为平行四边形，得
PF=DE，即-m2+3m=2，
解得m1=1，m2=2．
当m=1时，线段PF与DE重合，m=1（不符合题意，舍）．
当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
