题目内容
【题目】对于一个关于x的代数式A，若存在一个系数为正数关于x的单项式F，使
的结果是所有系数均为整数的整式，则称单项式F为代数式A的“整系单项式”．例如：
当A=
，F=2x3时，由于
=1，故2x3是的整系单项式；
当A=，F=6x5时，由于
，故6x5是的整系单项式；
当A=3-
，F=
时，由于
=2x-1，故是3-的整系单项式；
当A=3-，F=8x4时，由于
，故8x4是3-的整系单项式；
显然，当代数式A存在整系单项式F时，F有无数个，现把次数最低，系数最小的整系单项式F记为F（A）．例如：
，
阅读以上材料并解决下列问题：
（1）判断：当A=
时，F=2x3______A的整系单项式（填“是”或“不是”）
（2）解方程：
（3）已知a、b、c是△ABC的边长，其中a、b满足（a-5）2+
=0，且关于x的方程|
|=c有且只有3个不相等的实数根，求△ABC的周长．
【答案】（1）是；（2）x=
；（3）26或27；
【解析】
（1）当A=
时，F=2x3时，
=x；
（2）令F=axn，结合定义进行判断，即可求出F（x+1）=2x，F（1-）=2x2，将所求方程转化为
-1=
即可求解；
（3）根据平方与二次根式的性质可求a=5，b=9，再求出F（
）=x2，将所求式子转化为可以化为|
|=c，结合函数图象即可求解；
解：（1）当A=时，F=2x3时，=x，
∴是2x3的整系单项式；
（2）F（x+1）=2x，F（1-）=2x2，
∴
可以化为-1=，
∴2x2-3x+1=0，
∴x=1或x=
；
经检验x=1是方程的增根，
∴原方程的解为x=；
（3）∵（a-5）2+
=0，
∴a=5，b=9，
F（）=x2，
∴|
|=c可以化为||=c，
∴|（x-3）+
+6|=c，
当x=6时，c=12，
∴当x≥6时，c≥12，此时方程有且只有3个不相等的实数根，
∵c＜14，
∴c=12或c=13，
∴△ABC的周长为26或27；
