题目内容

【题目】如图,平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,3),点B(,0),连接AB.若对于平面内一点C,当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时,称点C是线段AB的“等长点”.

(1)在点C1(-2,),点C2(0,-2),点C3()中,线段AB的“等长点”是点

(2)若点D(mn)是线段AB的“等长点”,且∠DAB=60°,求mn的值;

(3)若直线上至少存在一个线段AB的“等长点”,直接写出k的取值范围.

【答案】(1)C1C3 ;(2)mn=0或mn=3.(3)

【解析】分析:(1)直接利用线段AB的“等长点”的条件判断;

(2)分两种情况讨论,利用对称性和垂直的性质即可求出m,n;

3)先判断出直线y=kx+3与圆AB相切时,如图2所示,利用相似三角形的性质即可求出结论

本题解析:

(1)C1C3

(2)如图①,∵点D(mn)是线段AB的“等长点”,且∠DAB=60°,

∴△ABD是等边三角形.∵OA=3,

OB=,∠AOB=90°,∴tan∠ABO

∴∠ABO=60°,∠BAO=30°,

∴点Dx轴上,且DB=AB=2

m=-n=0.

如图②,同理可知△ABD是等边三角形,∵∠DAB=60°,∠BAO=30°,∴∠DAO=90°,又∵DA=AB=2

m=2n=3.

综上所述,m-n=0或m=2n=3.

(3)如图2,∵直线y=kx+3k=k(x+3),

∴直线y=kx+3k恒过一点P(3,0),

∴在Rt△AOP中,OA=3,OP=3

∴∠APO=30°,

∴∠OPA=60°,

∴∠BAP=90°,

当PF与⊙B相切时交y轴于F,

∴PA切⊙B于A,

∴点F就是直线y=kx+33√k与⊙B的切点,

∴F(0,3),

∴33√k=3,

∴k=3√3,

当直线y=kx+3k与⊙A相切时交y轴于G切点为E,∴∠AEG=∠OPG=90°,

∴△AEG∽△POG,

∴k= (舍)或k=

∵直线y=kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”,

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