题目内容
【题目】如图,平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,3),点B(,0),连接AB.若对于平面内一点C,当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时,称点C是线段AB的“等长点”.
(1)在点C1(-2,),点C2(0,-2),点C3(,)中,线段AB的“等长点”是点 ;
(2)若点D(m,n)是线段AB的“等长点”,且∠DAB=60°,求m和n的值;
(3)若直线上至少存在一个线段AB的“等长点”,直接写出k的取值范围.
【答案】(1)C1,C3 ;(2)m=,n=0或m=,n=3.(3)
【解析】分析:(1)直接利用线段AB的“等长点”的条件判断;
(2)分两种情况讨论,利用对称性和垂直的性质即可求出m,n;
(3)先判断出直线y=kx+3与圆A,B相切时,如图2所示,利用相似三角形的性质即可求出结论
本题解析:
(1)C1,C3
(2)如图①,∵点D(m,n)是线段AB的“等长点”,且∠DAB=60°,
∴△ABD是等边三角形.∵OA=3,
OB=,∠AOB=90°,∴tan∠ABO= ,
∴∠ABO=60°,∠BAO=30°,
∴点D在x轴上,且DB=AB=2,
∴m=-,n=0.
如图②,同理可知△ABD是等边三角形,∵∠DAB=60°,∠BAO=30°,∴∠DAO=90°,又∵DA=AB=2,
∴m=2,n=3.
综上所述,m=-,n=0或m=2,n=3.
(3)如图2,∵直线y=kx+3k=k(x+3),
∴直线y=kx+3k恒过一点P(3,0),
∴在Rt△AOP中,OA=3,OP=3,
∴∠APO=30°,
∴∠OPA=60°,
∴∠BAP=90°,
当PF与⊙B相切时交y轴于F,
∴PA切⊙B于A,
∴点F就是直线y=kx+33√k与⊙B的切点,
∴F(0,3),
∴33√k=3,
∴k=3√3,
当直线y=kx+3k与⊙A相切时交y轴于G切点为E,∴∠AEG=∠OPG=90°,
∴△AEG∽△POG,
∴,
∴,
∴k= (舍)或k=,
∵直线y=kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”,
∴.