Question

【题目】已知是一张直角三角形纸片，其中，，小亮将它绕点逆时针旋转后得到，交直线于点.

（1）如图1，当时，所在直线与线段有怎样的位置关系？请说明理由.

（2）如图2，当，求为等腰三角形时的度数.

Answer 1

【答案】（1）BD与FM互相垂直，理由见解析；（2）β的度数为30°或75°或120°．

【解析】

（1）由题意设直线BD与FM相交于点N，即可根据旋转的性质判断直线BD与线段MF垂直；

（2）根据旋转的性质得∠MAD=β，分类讨论：当KA=KD时，根据等腰三角形的性质得∠KAD=∠D=30°，即β=30°；当DK=DA时，根据等腰三角形的性质得∠DKA=∠DAK，然后根据三角形内角和可计算出∠DAK=75°，即β=75°；当AK=AD时，根据等腰三角形的性质得∠AKD=∠D=30°，然后根据三角形内角和可计算出∠KAD=120°，即β=120°．

解：（1）BD与FM互相垂直，理由如下

设此时直线BD与FM相交于点N

∵∠DAB=90°，∠D=30°

∴∠ABD=90°-∠D=60°，

∴∠NBM=∠ABD=60°

由旋转的性质得△ADB≌△AMF,∴∠D=∠M=30°

∴∠MNB=180°-∠M-∠NBM=180°-30°- 60°= 90°

∴BD与FM互相垂直

（2）

当KA=KD时，则∠KAD=∠D=30°，即β=30°；

当DK=DA时，则∠DKA=∠DAK，

∵∠D=30°，∴∠DAK=（180°﹣30°）÷2=75°，即β=75°；

当AK=AD时，则∠AKD=∠D=30°，

∴∠KAD=180°﹣30°﹣30°=120°，即β=120°，

综上所述，β的度数为30°或75°或120°．