Question

(1)(3分)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．
求证：AB²＝AD·AC；
(2)(4分)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC
于点F．，求的值；
(3)(5分) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BE⊥ＡD
于点E，交直线AC于点F。若，请探究并直接写出的所有可能的值(用含n的式子表
示)，不必证明．

Answer 1

(1)证明见解析(2)2(3) ①当点D在BC边上时，的值为n²＋n；②当点D在BC延长线上时，的值为n²－n；③当点D在CB延长线上时，的值为n－n²。

解：(1)证明：如图①，∵　BD⊥AC，∠ABC=90°，∠ADB＝∠ABC，
又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC 。
∴，∴ AB²＝AD·AC。
(2)如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G。

∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。
又∵，
∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC。
又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG（AAS）。
∴ED＝GD＝。
由(1)可得：AB²＝AE·AD，BD²＝DE·AD，
∴。∴ AE＝4DE。∴。
又∵CG∥BF，∴。
(3) ①当点D在BC边上时，的值为n²＋n；
②当点D在BC延长线上时，的值为n²－n；
③当点D在CB延长线上时，的值为n－n²。
（1）由证△ADB∽△ABC即可得到结论。
（2）过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，由已知用AAS证△BDE≌△CDG，得到EF是△ACG的中位线，应用（1）的结论即可。
（3）分点D在BC边上、点D在BC延长线上和点D在CB延长线上三种情况讨论：
①当点D在BC边上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G。

∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。
∴△BDE∽△CDG。∴。
又∵，∴
∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nGD。
∴BC=（n＋1）DC，EG=ED。
由(1)可得：AB²＝AE·AD，BD²＝DE·AD，
∴。∴ AE＝ DE。
∴。
又∵CG∥BF，∴。
②当点D在BC延长线上时，如图4，过点C作CH⊥AD交AD于点H。

∵ BE⊥AD，∴∠CHD＝∠BED＝90°，CH∥BF。
∴△BDE∽△CDH。∴ 
又∵，∴
∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nHD。
∴BC=（n－1）DC，EH=ED。
由(1)可得：AB²＝AE·AD，BD²＝DE·AD，
∴。∴ AE＝ DE。
∴。
又∵CH∥BF，∴。
③当点D在CB延长线上时，如图5，过点C作CI⊥AD交DA的延长线于点I。

∵ BE⊥AD，∴∠CID＝∠BED＝90°，CI∥BF。
∴△BDE∽△CDI。∴ 
又∵，∴
∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nID。
∴BC=（1－n）DC，EI=ED。
由(1)可得：AB²＝AE·AD，BD²＝DE·AD，
∴。∴ AE＝ DE。
∴。
又∵CI∥BF，∴。