题目内容
【题目】综合与实践
如图1,正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点、.我们可以发现:反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形.
(1)填空: , , , ;
(2)利用所给函数图象,写出不等式的解集 ;
(3)如图2,正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点、.试说明以、、、为顶点的四边形一定是平行四边形,但不可能是正方形;
(4)如图3,当点在点的左上方时,过作直线轴于点,过点作直线轴于点,交直线于点,若四边形的面积为.求点的坐标.
【答案】(1);;;;(2)或;(3)见解析;(4)点的坐标为
【解析】
(1)由题意直接把点A(3,2)代入一次函数及反比例函数的解析式求出k1及a的值,再根据反比例函数的图象关于原点对称可得出m、n的值;
(2)由题意直接根据两函数的图象即可得出结论;
(3)根据题意利用“反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形”得:OA=OB,OP=OQ,故以、、、为顶点的四边形的对角线互相平分,所以以、、、为顶点的四边形一定是平行四边形,并由,对角线与不可能互相垂直,即可得出以、、、为顶点的四边形不可能是菱形,也就不可能是正方形;
(4)根据题意设点,由题意可知四边形是矩形,故可得出OM×PM=6,ON×AN=6,根据可得出其面积,可求出ONOM的值,由此可得出结论.
解:(1)∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3,2),
∴,解得,解得a=6.
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称,
∴B(-3,-2),
∴m=-3,n=-2.
故答案为:;;; .
(2)∵A(3,2)、B(-3,-2),
∴当x<-3或0<x<3时,.
故答案为:x<-3或0<x<3.
(3)∵反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形,
∴,,
∴以、、、为顶点的四边形的对角线互相平分,所以以、、、为顶点的四边形一定是平行四边形.
∵点、都在第一象限,
∴,对角线与不可能互相垂直,
∴以、、、为顶点的四边形不可能是菱形,也就不可能是正方形.
(4)设点,由题意可知四边形是矩形.
∵和都在双曲线上,
∴,,
∴,
又,
∴,
又∵,
∴,
∵,
∴,即,
∴,,
∴点的坐标为.