题目内容

【题目】如图,在半径为2的扇形AOB中,AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)ODBC,OEAC,垂足分别为D、E.

(1)当BC=1时,求线段OD的长;

(2)在DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;(3)设BD=x,DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.

【答案】(1);(2);(3)y=(0<x<).

【解析】

试题分析:(1)根据ODBC可得出BD=BC=,在RtBOD中利用勾股定理即可求出OD的长;

(2)连接AB,由AOB是等腰直角三角形可得出AB的长,再根据D和E是中点可得出DE=

(3)由BD=x,可知OD=,由于1=2,3=4,所以2+3=45°,过D作DFOE,DF=,EF=x即可得出结论.

试题解析:(1)如图(1),ODBC,BD=BC=OD==

(2)如图(2),存在,DE是不变的.

连接AB,则AB==2

D和E分别是线段BC和AC的中点,

DE=AB=

(3)如图(3),连接OC,

BD=x,

OD=

∵∠1=2,3=4,

∴∠2+3=45°

过D作DFOE.

DF==,由(2)已知DE=

在RtDEF中,EF==

OE=OF+EF=+=

y=DFOE=

=(0<x<).

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