题目内容
【题目】如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长;
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.
【答案】(1);(2);(3)y=(0<x<).
【解析】
试题分析:(1)根据OD⊥BC可得出BD=BC=,在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长;
(2)连接AB,由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长,再根据D和E是中点可得出DE=;
(3)由BD=x,可知OD=,由于∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠2+∠3=45°,过D作DF⊥OE,DF=,EF=x即可得出结论.
试题解析:(1)如图(1),∵OD⊥BC,∴BD=BC=,∴OD==;
(2)如图(2),存在,DE是不变的.
连接AB,则AB==2,
∵D和E分别是线段BC和AC的中点,
∴DE=AB=;
(3)如图(3),连接OC,
∵BD=x,
∴OD=,
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠2+∠3=45°,
过D作DF⊥OE.
∴DF==,由(2)已知DE=,
∴在Rt△DEF中,EF==,
∴OE=OF+EF=+=
∴y=DFOE=
=(0<x<).
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