题目内容
【题目】Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是△ABC边AC,BC上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图①所示,且∠α=50°,则∠1+∠2=________°;
(2)若点P在边AB上运动,如图②所示,则∠α,∠1,∠2之间的关系为:____________;
(3)若点P运动到边AB的延长线上,如图③所示,则∠α,∠1,∠2之间有何关系?猜想并说明理由;
(4)若点P运动到△ABC形外,如图④所示,则∠α,∠1,∠2之间的关系为:____________.
【答案】(1)140;(2) 90°+∠α.(3)90°+∠2+∠α.;(4)90°+∠1-∠α.
【解析】试题分析:(1)根据四边形内角和定理以及邻补角的定义,得出∠1+∠2=∠C+∠α,进而得出即可;
(2)利用(1)中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可;
(3)利用三角外角的性质,得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α;
(4)利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系.
试题分析:(1)∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°,∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°,
∴∠1+∠2=∠C+∠α,
∵∠C=90°,∠α=50°,
∴∠1+∠2=140°,
故答案为:140;
(2)由(1)得∠α+∠C=∠1+∠2,
∴∠1+∠2=90°+∠α.
故答案为:∠1+∠2=90°+∠α.
(3)∠1=90°+∠2+∠α.理由如下:如图③,
设DP与BE的交点为M,
∵∠2+∠α=∠DME,∠DME+∠C=∠1,
∴∠1=∠C+∠2+∠α=90°+∠2+∠α.
(4)如图④,
设PE与AC的交点为F,
∵∠PFD=∠EFC,
∴180°-∠PFD=180°-∠EFC,
∴∠α+180°-∠1=∠C+180°-∠2,
∴∠2=90°+∠1-∠α.
故答案为:∠2=90°+∠1-∠α
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