Question

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，
连结PQ．以下结论正确的有（　　）个
①PQ∥AE；②AP=BQ；③∠AOB=60°；④CP=CQ；⑤连接OC，则OC平分∠AOE．

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

分析：由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据△CQB≌△CPA（ASA），可知CP=CQ正确；利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，再利用四点共圆得出以及圆心角定理OC平分∠AOE．

解答：解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中

AC=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
在△CQB和△CPA中

∠CBQ=∠CAP CB=AC ∠BCQ=∠ACP

∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，故④正确；
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE①正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ②正确，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴③正确；
连接CO，
∵∠BOA=60°，
∴∠AOE=120°，
∵∠PCQ=60°，
∴O、P、C、Q四点共圆，
∵PC=CQ，
∴∠POC=∠QOC，
∴OC平分∠AOE．
故5个选项都正确．
故选：D．

点评：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质和平行线的判定以及四点共圆等知识，熟练应用三角形全等的证明是正确解答本题的关键．