Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为，E在正方形外，DE＝DC，过D作DH⊥AE于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点P，则下列结论正确的是____________

①∠DAE＝∠DEA；②∠DMC＝45°；③；④若MH＝2，则S△CMD＝

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①利用等腰三角形的性质即可证明．

②根据DA=DC=DE，利用圆周角定理可知∠AEC= ∠ADC=45°，即可解决问题．

③如图，作DF⊥DM交PM于F，证明△ADM≌△CDF（SAS）即可解决问题．

④解直角三角形求出CE=EF=可得结论．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴DA=DC，∠ADC=90°，

∵DC=DE， ∴DA=DE， ∴∠DAE=∠DEA，故①正确，

∵DA=DC=DE，

在以为圆心，为半径的圆上，

∴∠AEC=∠ADC=45°（圆周角定理），

∵DM⊥AE， ∴∠EHM=90°， ∴∠DMC=45°，故②正确，

如图，作DF⊥DM交PM于F，

∵∠ADC=∠MDF=90°，

∴∠ADM=∠CDF，

∵∠DMF=45°，

∴∠DMF=∠DFM=45°，

∴DM=DF，

∵DA=DC，

∴△ADM≌△CDF（SAS），

∴AM=CF，

∴AM+CM=CF+CM=MF=DM，

∴ ，故③正确，

MH=2，

AH=MH=HE=2，AM=EM=

在Rt△ADH中，DH=

∴DM=3，AM+CM=

∴CM=CE=

∴S△DCM=S△DCE，

故④错误．

故答案①②③．