题目内容

【题目】若一个三角形一条边的平方等于另两条的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.

1)已知是比例三角形,,请直接写出所有满足条件的的长;

2)如图,在四边形中,,对角线平分.求证:是比例三角形;

【答案】(1)当AC=时,ABC是比例三角形;(2)见解析

【解析】

1)根据比例三角形的定义,分AB2=BCACBC2=ABACAC2=ABBC三种情况分别代入计算可得;

2)先证△ABC∽△DCACA2=BC·AD,再由∠ADB=CBD=ABDAB=AD即可得.

1∵△ABC是比例三角形,且AB=2BC=3

AB2=BC·AC时,得:4=3AC,解得:AC=

BC2=AB·AC时,得:9=2AC,解得:AC=

AC2=AB·BC时,得:AC2=6,解得:AC=(负值舍去);

所以当AC=时,△ABC是比例三角形;.

2∵AD//BC

∴∠ACB=∠CAD

∵∠BAC=∠ADC

∴△ABC∽△DCA

,即CA2=BC·AD

∵AD∥BC

∴∠ADB=∠CBD

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠CBD

∴∠ADB=∠ABD

∴AB=AD

∴CA2=BC·AB

∴△ABC是比例三角形.

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