题目内容
【题目】若一个三角形一条边的平方等于另两条的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知是比例三角形,,,请直接写出所有满足条件的的长;
(2)如图,在四边形中,,对角线平分,.求证:是比例三角形;
【答案】(1)当AC=或或时,△ABC是比例三角形;(2)见解析
【解析】
(1)根据比例三角形的定义,分AB2=BCAC、BC2=ABAC、AC2=ABBC三种情况分别代入计算可得;
(2)先证△ABC∽△DCA得CA2=BC·AD,再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得.
(1)∵△ABC是比例三角形,且AB=2、BC=3,
①当AB2=BC·AC时,得:4=3AC,解得:AC=;
②当BC2=AB·AC时,得:9=2AC,解得:AC=;
③当AC2=AB·BC时,得:AC2=6,解得:AC=(负值舍去);
所以当AC=或或时,△ABC是比例三角形;.
(2)∵AD//BC,
∴∠ACB=∠CAD,
又∵∠BAC=∠ADC,
∴△ABC∽△DCA,
∴,即CA2=BC·AD,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∴∠ADB=∠ABD,
∴AB=AD,
∴CA2=BC·AB,
∴△ABC是比例三角形.
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