Question

【题目】已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．

（1）若∠O=50°，求∠BCD的度数；

（2）求证：CE平分∠OCA；

（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）115°；（2）证明见解析；（3）结论：当∠O=36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分.

【解析】(1)根据平行线的性质可得∠O=∠MCB，由平角定义可得∠ACM=130°，再利用角平分线的定义可求∠DCM=65°，从而可求出∠BCD的度数；

(2)利用等角的余角相等证明∠ACE=∠ECO即可；

(3)结合(2)的结论可知∠BOC=∠BOM=∠DOM，从而得出结论.

解：（1）∵AB∥ON，

∴∠O=∠MCB（两直线平行，同位角相等）.

∵∠O=50°，

∴∠MCB=50°.

∵∠ACM＋∠MCB=180°（平角定义），

∴∠ACM=180°－50°=130°.

又∵CD平分∠ACM，

∴∠DCM=65°（角平分线定义），

∴∠BCD=∠DCM＋∠MCB=65°＋50°=115°，

（2）∵CE⊥CD，

∴∠DCE=90°，

∴∠ACE＋∠DCA=90°..

又∵∠MCO=180°（平角定义），

∴∠ECO＋∠DCM=90°，

∵∠DCA =∠DCM，

∴∠ACE=∠ECO（等角的余角相等），

即CE平分∠OCA；

（3）①当∠OCA: ∠ACD=1：2时，

设∠OCD=x°, ∠ACD=2x°,由题意得

x+2x+2x=180,

∴x=36,

∴∠O=∠OCA=x=36°;

②当∠ACD：∠OCA =1：2时，

设∠ACD =x°, ∠OCA =2x°,由题意得

x+x+2x=180,

∴x=45,

∴∠O=∠OCA=2x=2×45°=90°;

∴当∠O=36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分.