题目内容

如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以
2
的长为半径作⊙O交x轴于P、Q两点，交y轴于G、H两点，△ABC内接于⊙O，且BC∥x轴交y轴于D，∠BAC=45°（如图1）．
（1）求C点坐标；
（2）若点A在x轴上方的半圆上运动（不与G重合），且CA的延长线交y轴于M，AB交y轴于N（如图2），当A点运动时，ON•OM的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出其值；
（3）若点A在⊙O上运动（不与B、C重合），是否存在点A，使△ABC为等腰三角形？若存在，请求出A点坐标；若不存在，请说明理由．
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分析：（1）利用三角形BOC是直角三角形即可解出C点坐标．
（2）分析几个特殊位置：当A位于y正半轴与圆的交点或A位于x负半轴与圆的交点时值不变．
（3）分类讨论，分别讨论当AB，AC，BC为腰时的情况．
解答：精英家教网解：（1）∵∠BOC=2∠BAC=90°，
即△BOC是等腰直角三角形，CO=
2
，
∴C点坐标为（
2
sin45°，-
2
cos45°），
即（1，-1）；

（2）当A位于y正半轴与圆的交点时，ON=OM=
2
，ON•OM=2；
A位于x负半轴与圆的交点时，
∴ON=
2
，OM=
1
2
MC=OC= 
2
，精英家教网
∴ON•OM=2．
当A点运动时，ON•OM的值不发生变化，ON•OM=2．

（3）当AB=AC时，圆与y轴的交点即A的可能取值，
故A（0，
2
）或（0，- 
2
）；
当AB=BC时，A与C关于原点对称，此时A（-1，1）；
当BC=AC时，A与C关于x轴对称，此时A（1，1）．
点评：考查了三角形外接圆的灵活应用，对动态点的讨论和分析．
练习册系列答案
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精英家教网如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（1）求点B的坐标；
（2）当∠CPD=∠OAB，且
BD
AB
=
5
8
，求这时点P的坐标．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
5
29
5
29
．
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
5
5
．
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
k
x
图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
k
x
的解析式为（　　）
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
（1）求梯形OABC的面积；
（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
（3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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