Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（3）若AC＝5，AB＝6，求菱形ADCF的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）15．

【解析】

（1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；

（2）根据条件可证得S菱形ADCF=S△ABC，结合条件可求得答案．

（1）证明：∵E是AD的中点，

∴AE＝DE，

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

在△AEF和△DEB中

，

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF＝DB，

∵点D时BC中点，

∴BD=DC，

∴AF=DC，

∵AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，

∴AD＝CD＝BC，

∴四边形ADCF是菱形；

（2）解：设AF到CD的距离为h，

∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，

∴S菱形ADCF＝CDh＝BCh=S△ABC，

∵S△ABC＝ABAC＝．

∴S菱形ADCF＝15.