题目内容
【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)和B(3,0)两点,与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点E,点D为顶点,连接BD、CD、BC.
(1)求证△BCD是直角三角形;
(2)点P为线段BD上一点,若∠PCO+∠CDB=180°,求点P的坐标;
(3)点M为抛物线上一点,作MN⊥CD,交直线CD于点N,若∠CMN=∠BDE,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.
【答案】(1)证明见解析;(2)P(,﹣);(3)M的坐标(5,12)或(,﹣)
【解析】试题分析:(1)先利用待定系数法求二次函数的解析式,并配方成顶点式求顶点D的坐标,和与y轴的交点C的坐标,由勾股定理计算△BDC三边的平方,利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形;
(2)作辅助线,构建直角三角形PCQ与直角三角形BDC相似,根据比例式表示出点P的坐标,利用待定系数法求直线BD的解析式,因为点P为线段BD上一点,代入直线BD的解析式列方程可求出点P的坐标;
(3)同理求直线CD的解析式为:y=-x-3,由此表示点N的坐标为(a,-a-3),因为M在抛物线上,所以设M(x,x2-2x-3),根据同角的三角函数得:tan∠BDE=tan∠CMN= ,则 ,如图2,证明△MGN∽△NFC,列比例式可得方程组解出即可;如图3,证明△CFN∽△NGM,列比例式可得方程组解出即可;
试题解析:
解:(1)把A(﹣1,0)和B(3,0)两点代入抛物线y=x2+bx+c中得:
, 解得: ,
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴C(0,﹣3),D(1,﹣4),
由勾股定理得:BC2=32+32=18,
CD2=12+(4﹣3)2=2, BD2=(3﹣1)2+42=20,
∴CD2+BC2=BD2, 即∠BCD=90°,
∴△BCD是直角三角形;
(2)作PQ⊥OC于点Q,
∴∠PQC=90°,
∵∠PCO+∠CDB=180°,
∠PCO+∠PCQ=180°,
∴∠CDB=∠PCQ,
∵∠PQC=∠BCD=90°,
∴△PCQ∽△BDC,
∴=3,
∴PQ=3CQ,
设CQ=m,则PQ=3m,
设P(3m,﹣3﹣m),
设直线BD的解析式为:y=kx+b,
把B(3,0)、D(1,﹣4)代入得: ,解得: ,
∴直线BD的解析式为:y=2x﹣6,
将点P的坐标代入直线BD:y=2x﹣6得:
﹣3﹣m=2×3m﹣6,
∴3m=,﹣3﹣
∴P(,﹣);
(3) M的坐标(5,12)或(,﹣).