题目内容

【题目】如图,抛物线y=x2+bx+cx轴交于A﹣10)和B30)两点,与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点E,点D为顶点,连接BDCDBC

1)求证BCD是直角三角形;

2)点P为线段BD上一点,若PCO+CDB=180°,求点P的坐标;

3)点M为抛物线上一点,作MNCD,交直线CD于点N,若CMN=BDE,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.

【答案】(1)证明见解析;(2)P;(3)M的坐标(512)或(

【解析】试题分析:(1)先利用待定系数法求二次函数的解析式,并配方成顶点式求顶点D的坐标,和与y轴的交点C的坐标,由勾股定理计算△BDC三边的平方,利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形;
(2)作辅助线,构建直角三角形PCQ与直角三角形BDC相似,根据比例式表示出点P的坐标,利用待定系数法求直线BD的解析式,因为点P为线段BD上一点,代入直线BD的解析式列方程可求出点P的坐标;
(3)同理求直线CD的解析式为:y=-x-3,由此表示点N的坐标为(a,-a-3),因为M在抛物线上,所以设M(x,x2-2x-3),根据同角的三角函数得:tan∠BDE=tan∠CMN= ,则 ,如图2,证明△MGN∽△NFC,列比例式可得方程组解出即可;如图3,证明△CFN∽△NGM,列比例式可得方程组解出即可;

试题解析:

解:(1)把A﹣10)和B30)两点代入抛物线y=x2+bx+c中得:

解得:

抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣3=x﹣12﹣4

C0﹣3),D1﹣4),

由勾股定理得:BC2=32+32=18

CD2=12+4﹣32=2BD2=3﹣12+42=20

CD2+BC2=BD2, 即BCD=90°

∴△BCD是直角三角形;

2)作PQOC于点Q

∴∠PQC=90°

∵∠PCO+CDB=180°

PCO+PCQ=180°

∴∠CDB=PCQ

∵∠PQC=BCD=90°

∴△PCQ∽△BDC

=3

PQ=3CQ

CQ=m,则PQ=3m

P3m﹣3﹣m),

设直线BD的解析式为:y=kx+b

B30)、D14)代入得: ,解得:

直线BD的解析式为:y=2x﹣6

将点P的坐标代入直线BDy=2x﹣6得:

﹣3﹣m=2×3m﹣6

3m=3m=3=

P);

3 M的坐标(512)或().

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