Question

【题目】如图，点A从坐标原点出发，沿x轴的正方向运动，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．

（1）当点C与点E恰好重合时，求t的值；
（2）当t为何值时，BC取得最小值；
（3）设△BCE的面积为S，当S=6时，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当点C与点E重合时，如图1，

则OB=EF=4，OA=t，且AB=2AE，

∵由题意可知∠BAE=90°，

∴∠EAF+∠BAO=∠EAF+∠AEF=90°，

∴∠AEF=∠BAO，且∠EFA=∠AOB，

∴Rt△AEF∽Rt△BAO，

∴ = = ，即 = ，解得t=8

（2）解：如图2，

∵AB=2AC，

∴BC= = AC，

∴ ，

在Rt△AOB中，由勾股定理可得 ，

∴当t=0时，AB有最小，则BC有最小值

（3）解：①当0＜t≤8时，则点C在点E的下方，如图2，

同（1）可知 = = ，解得AF=2，CF= t，

∴BE=OF=OA+AF=t+2，CE=EF﹣CF=4﹣ t，

∴S= BECE= （t+2）（4﹣ t）=﹣ t2+ t+4，

令S=6，可得﹣ t2+ t+4=6，解得t=2或t=4；

②当t＞8时，则点C在点E的上方，如图3，

则CE=CF﹣EF= t﹣4，

∴S= BECE= （t+2）（ t﹣4）= t2﹣ t﹣4，

令S=6可得 t2﹣ t﹣4=6，解得t=﹣4（舍去）或t=10，

即当S的值为6时，t的值为2或4或10

【解析】（1）首先证明△AEF∽△BAO，然后依据相似三角形对应边成比例的性质列方出求解即可；
（2）在Rt△ABC中可求得BC和AB的关系，然后在Rt△AOB中，用t可表示出AB，然后再可用t表示出BC，最后利用二次函数的性质可求得BC取得最小值时t的值；
（3）分为0＜t≤8和t＞8两种情况求得S关于t的函数表达式，最后，再令S=6，从而可得到关于t的方程，从而可求得t的值.