题目内容
【题目】如图,点A从坐标原点出发,沿x轴的正方向运动,点B坐标为(0,4),M是线段AB的中点,将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,过点C作x轴的垂线,垂足为F,过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E,连接AC,BC,设点A的横坐标为t.
(1)当点C与点E恰好重合时,求t的值;
(2)当t为何值时,BC取得最小值;
(3)设△BCE的面积为S,当S=6时,求t的值.
【答案】
(1)解:当点C与点E重合时,如图1,
则OB=EF=4,OA=t,且AB=2AE,
∵由题意可知∠BAE=90°,
∴∠EAF+∠BAO=∠EAF+∠AEF=90°,
∴∠AEF=∠BAO,且∠EFA=∠AOB,
∴Rt△AEF∽Rt△BAO,
∴ =
=
,即
=
,解得t=8
(2)解:如图2,
∵AB=2AC,
∴BC= =
AC,
∴ ,
在Rt△AOB中,由勾股定理可得 ,
∴当t=0时,AB有最小,则BC有最小值
(3)解:①当0<t≤8时,则点C在点E的下方,如图2,
同(1)可知 =
=
,解得AF=2,CF=
t,
∴BE=OF=OA+AF=t+2,CE=EF﹣CF=4﹣ t,
∴S= BECE=
(t+2)(4﹣
t)=﹣
t2+
t+4,
令S=6,可得﹣ t2+
t+4=6,解得t=2或t=4;
②当t>8时,则点C在点E的上方,如图3,
则CE=CF﹣EF= t﹣4,
∴S= BECE=
(t+2)(
t﹣4)=
t2﹣
t﹣4,
令S=6可得 t2﹣
t﹣4=6,解得t=﹣4(舍去)或t=10,
即当S的值为6时,t的值为2或4或10
【解析】(1)首先证明△AEF∽△BAO,然后依据相似三角形对应边成比例的性质列方出求解即可;
(2)在Rt△ABC中可求得BC和AB的关系,然后在Rt△AOB中,用t可表示出AB,然后再可用t表示出BC,最后利用二次函数的性质可求得BC取得最小值时t的值;
(3)分为0<t≤8和t>8两种情况求得S关于t的函数表达式,最后,再令S=6,从而可得到关于t的方程,从而可求得t的值.
