题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过OEFBC分别交ABACEF.

1)求证:EF=BE+CF.

2)在△ABC中,∠ABC的角平分线与∠ACB相邻的外角的平分线相交于点O,过OEFBC分别交ABACEF,请你画出图形(不要求尺规作图),并直接写出EFBECF之间的关系.

【答案】1)证明见解析;(2)作图见解析;EF=BE-CF

【解析】

1)根据角平分线和平行线的性质分别证明∠EBO=EOB,∠FOC=FCO,从而得出EO=BE,FO=CF,即可解决问题;

2)根据角平分线的额作法步骤,分别作出∠ABC和∠ACB的角平分线,两条角平分线的交点即为点O

1)证明:∵BO平分∠ABC

∴∠EBO=OBC

EFBC

∴∠EOB=OBC

∴∠EBO=EOB

EO=BE

同理:FO=CF

EO+FO=BE+CF

EF=BE+CF.

2)以点B为圆心,以任意长为半径作弧,分别交BABC与点M和点D

分别以MD为圆心,以大于MD的一半为半径作弧,交于点N,作射线BN,则射线BN即为∠ABC的角平分线;

同理作∠ACB外角的角平分线,两线交于点O,过点OBC的平行线交AB与点E,交AC于点F.如图所示:

OEBC

∴∠EOB=CBO,

BN是∠ABC的角平分线,

∴∠ABN=CBO,

∴∠ABN=EOB,

BE=OE,

OEBC

∴∠OCK=FOC,

CU是∠ACK的角平分线,

∴∠OCK=FCO,

∴∠FCO=FOC,

FO=CF,

BE=EO=FO+EF=EF+CF,

EF=BE-CF

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