Question

如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．

（1）求证：点为线段的中点；

（2）求证：①四边形为平行四边形；②平行四边形为菱形；

（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．

Answer 1

证明：（1）法一：由题可知．

，，

．

，即为的中点．

法二：，，．

又轴，．

（2）①由（1）可知，，

，，

．

，

又，四边形为平行四边形．

②设，轴，则，则．

过作轴，垂足为，在中，

．

平行四边形为菱形．

（3）设直线为，由，得，代入得：

  直线为．

设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：

，，解得．得公共点为．

所以直线与抛物线只有一个公共点．