Question

【题目】如图1，在和中，顶点是它们的公共顶点，，．

（特例感悟）（1）当顶点与顶点重合时（如图1），与相交于点，与相交于点，求证：四边形是菱形；

（探索论证）（2）如图2，当时，四边形是什么特殊四边形？试证明你的结论；

（拓展应用）（3）试探究：当等于多少度时，以点为顶点的四边形是矩形？请给予证明．

Answer 1

【答案】(1)见解析； (2)当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形．证明见解析；(3)当∠GBC=120°时，以点，，，为顶点的四边形CGFD是矩形. 证明见解析．

【解析】

（1）先证明四边形是平行四边形，再通过证明得出，从而证明四边形是菱形；

（2）证法一：如图，连接交于，在上取一点，使得，通过证明，，，从而证明当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形；

证法二：如图，过点G作GH⊥BC于H，通过证明OD=OC=OG=OF，GF=CD，从而证明当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形；

（3）当∠GBC=120°时，点E与点A重合，通过证明，CD=GF，，从而证明四边形是矩形．

(1) ，，

四边形是平行四边形，

在和中，

，

，

四边形是菱形．

(2)当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形．

证法一：如图，连接交于，在上取一点，使得，

，，

，

，

，

，.

，，，

，

，

，

，

，

设，则，，

在Rt△BGK中，，解得，

，，

，

，

，

，，

四边形是平行四边形，

，

四边形是矩形，

，

四边形是正方形．

证法二：如图

∵，，

.

又，

，

，.

过点G作GH⊥BC于H，

在Rt△BHG中，

∵，

∴GH=BG＝＋１，BH＝GH＝3＋，

∴HC=BC﹣BH=2+2-（3＋）=-1，

∴GC=，

∴OG=OC===2，

∴OD=OF=4-2=2，

∴OD=OC=OG=OF，

四边形是矩形，

∵GF=CD，

四边形是正方形．

(3) 当∠GBC=120°时，以点，，，为顶点的四边形CGFD是矩形.

当∠GBC=120°时，点E与点A重合.

，

∴，

.

∵四边形ABCD和四边形GBEF是平行四边形，

∴，，AB=CD，AB=GF，

∴，CD=GF，

四边形是平行四边形.

∵，

四边形是矩形．