Question

已知：如图Rt△ABD和Rt△BCD如图放置，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC，若AC平分∠DAB，则线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．

Answer 1

分析：AB+AD=

2

AC．首先过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F，再证明△CFB≌△CED可得CB=CD．延长AB至G，使BG=AD，连接CG．再证明△GBC≌△ADC可得AC=CG，
∠G=∠DAC=∠CAB=45°，则∠ACG=90°故AG=

2

AC，进而得到AB+AD=

2

AC．

解答：AB+AD=

2

AC．
证明如下：过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F．
∵AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AF，
∴CE=CF．
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°，
∵∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠ABC=∠EDC．
在△CED和△CFB中

∠CED=∠CFB ∠CDE=∠CBF CE=CF

，
∴△CFB≌△CED（AAS）．
∴CB=CD．
延长AB至G，使BG=AD，连接CG．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，
∴∠CBG=∠ADC．
在△GBC和△ADC中

CB=CD ∠CBG=∠ADC AD=BG

，
∴△GBC≌△ADC（SAS）．
∴AC=CG，
∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°．
∴∠ACG=90°．
∴AG=

2

AC．
∴AB+AD=

2

AC．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线，证明出∠CAB=45°，∠ACG=90°，再用三角函数得到AG=

2

AC．