题目内容

已知二次函数y=x2+bx-c的图象经过两点P(1,a),Q(2,10a).
(1)如果a,b,c都是整数,且c<b<8a,求a,b,c的值.
(2)设二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C.如果关于x的方程x2+bx-c=0的两个根都是整数,求△ABC的面积.
分析:(1)代入两点坐标,求得b、c(用a表示),再由已知c<b<8a,联立不等式组求得a、b、c的值;
(2)设出程x2+bx-c=0的两个根,根据根与系数的关系与因式分解求得两根,得出函数解析式,进一步求得图象与x、y轴的交点A、B、C三点解答问题.
解答:解:点P(1,a)、Q(2,10a)在二次函数y=x2+bx-c的图象上,
故1+b-c=a,4+2b-c=10a,
解得b=9a-3,c=8a-2;
(1)由c<b<8a知
8a-2<9a-3
9a-3<8a

解得1<a<3,
又a为整数,所以a=2,b=9a-3=15,c=8a-2=14;

(2)设m,n是方程的两个整数根,且m≤n.
由根与系数的关系可得m+n=-b=3-9a,mn=-c=2-8a,
消去a,得9mn-8(m+n)=-6,
两边同时乘以9,得81mn-72(m+n)=-54,分解因式,得(9m-8)(9n-8)=10.
所以
9m-8=1
9n-8=10
9m-8=-10
9n-8=-1
9m-8=-5
9n-8=-2
9m-8=2
9n-8=5

解得
m=1
n=2
m=-
2
9
n=
7
9
m=
1
3
n=
2
3
m=
10
9
n=
13
9

又∵m,n是整数,所以后面三组解舍去,
故m=1,n=2.
因此,b=-(m+n)=-3,c=-mn=-2,
二次函数的解析式为y=x2-3x+2.
易求得点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),
所以△ABC的面积为
1
2
×(2-1)×2=1
点评:此题主要考查二次函数图象上点的坐标特点、根与系数的关系、不等式组、以及三角形的面积计算公式.
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