Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

Answer 1

（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析.

试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．
试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．理由是：
∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°.
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．