Question

【题目】如图，的半径长为，垂直弦于点，的延长线交于点，与过点的的切线交于点，已知．

若，求、的长；

求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最大值为．

【解析】

（1）利用切线的性质以及勾股定理得出AB的长，进而利用△BOC∽△OBF，得出即可；

（2）首先得出△BCO∽△FCB，进而用x表示出FC的长，即可利用二次函数最值求法得出即可．

（1）EC=2，则CO=5﹣2=3．

∵CO⊥AB，∴AB=2CB．在Rt△BCO中，BO=5，∴BC===4，∴AB=8．

∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF．

在△BOC和△OBF中，∵∠OCB=∠FBO=90°，∠BOC=∠BOF，∴△BOC∽△OBF，∴=，∴=，解得：BF=；

（2）∵∠CBF+∠OBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，∴∠CBF=∠BOC，又∠BCF=∠BCO=90°，∴△BCO∽△FCB，∴=，∴BC2=OC×FC．

∵OC=5﹣x，OB=5，∴BC2=BO2﹣CO2=25﹣（5﹣x）2，∴25﹣（5﹣x）2=CO×FC=（5﹣x）×FC，∴FC=，∴EF×CO2=（FC﹣EC）×CO2

=（﹣x）（5﹣x）2=5x（5﹣x）=﹣5（x﹣）2+

∴EF×CO2的最大值为．