Question

已知关于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x的两个实数根的积为1，且关于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n有小于2的正实根，求n的整数值．

Answer 1

分析：先根据关于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x的两个实数根的积为1，得出

1

a2

=1，a=±1，再根据关于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x有两个实数根得出12a+9≥0，求出a=1，然后代入关于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n得出x²+2（1+n）x+（1+2n）=0，求出x₁=-1，x₂=-1-2n，最后根据关于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n有小于2的正实根，得出0＜-1-2n＜2，即可求出n的整数值．

解答：解：∵关于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x
∴a²x²+2ax+3x+1=0，
∵关于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x的两个实数根的积为1，
∴

1

a2

=1，
∴a=±1，
∵12a+9≥0，
∴a=1
∴关于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n可化简为：
x²+2（1+n）x+（1+2n）=0
∴x₁=-1，x₂=-1-2n，
∵关于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n有小于2的正实根，
∴0＜-1-2n＜2，
∴n的整数值为-1．

点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根与系数的关系为：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．