题目内容

如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；
（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
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分析：（1）根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可；
（2）可根据（1）中的相似三角形BAE和CDA得出关于AB，BE，CD，AC的比例关系，AB，AC可通过等腰直角三角形求出，因此根据比例关系即可得出m，n的函数关系式．
（3）根据（2）的函数关系式，即可求出BE，CD的长，从而也就能求出OD，OE，DE，BD，CE的长，那么可通过计算得出本题的结论．
（4）根据旋转角，我们知道HB⊥BD，那么DH2=BH2+BD2，而BH=CE，于是关键是证明HD=DE，连接AH，DH那么可通过证三角形AHD和ADE全等来求解．
解答：精英家教网解：（1）可得△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA．
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA．
又∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴△ABE∽△DCA．

（2）∵△ABE∽△DCA，
∴
BE
CA
=
BA
CD
．
由依题意可知CA=BA=
2
．
∴
m
2
=
2
n
．
∴m=
2
n
．
自变量n的取值范围为1＜n＜2．

（3）由BD=CE可得BE=CD，即m=n，
∵m=
2
n
，
∴m=n=
2
．
∵OB=OC=
1
2
BC=1，
∴OE=OD=
2
-1．
∴D（1-
2
，0）．
∴BD=OB-OD=1-（
2
-1）=2-
2
=CE．
DE=BC-2BD=2-2（2-
2
）=2
2
-2．
∵BD2+CE2=2BD2=2（2-
2
）2=12-8
2
，DE2=（2
2
-2）2=12-8
2
，
∴BD2+CE2=DE2．

（4）等量关系BD2+CE2=DE2成立．理由如下：
证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中．
∵
AE=AH
∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD
AD=AD
，
∴△EAD≌△HAD．
∴DE=DH．
∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD2+HB2=DH2．
∴BD2+CE2=DE2．
点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．根据相似三角形或全等三角形得出线段成比例或相等是解题的关键．
练习册系列答案
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如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△AFG绕点旋转，AF、AG与边BC的交点分别为点D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；
（2）△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D使BD=CE，求出点D的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；
（3）在旋转过程中，（2）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
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当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．
A.2sin(α+30°)=sinα+
3

B.2sin(α+30°)=2sinα+
3

C.2sin(α+30°)=
3
sinα+cosα
（1）正确的选项是
 
；
（2）如图1，△ABC中，AC=1，∠B=30°，∠A=α，请利用此图证明（1）中的结论；
（3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD=8
2
，求S△ADC．
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如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为4．若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=a，CD=b．
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）求a•b的值；
（3）在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么a•b的值是否发生了变化？为什么？
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（1）观察与猜想：已知当0°＜α＜60°时，下列关系式有且只有一个正确，正确的是
C
C
（填代号）
A．2sin（30°+α）=sinα+
3
   
B．2sin（30°+α）=2sinα+
3

C．2sin（30°+α）=
3
sinα+cosα．
（2）探究与证明：如图1，△ABC中，∠A=α，∠B=30°，AC=1，请利用图1证明（1）中你猜想的结论；
（3）应用新知识解决问题：
两块分别含有45°和30°的直角三角板如图2方式摆放在同一平面内，BD=8
2
，求S△ABC．
如图1，在同一平面内，四条线AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，AD、BC相交于点O，AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∠B=α，∠D=β．
（1）如图2，AM、CN相交于点P．
①当α=β时，判断∠APC与α的大小关系，并说明理由．
②当α＞β时，请直接写出∠APC与α，β的数量关系．
（2）是否存在AM∥CN的情况？若存在，请判断并说明α，β的数量关系；若不存在，请说明理由．

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