Question

当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．
A.2sin(α+30°)=sinα+

3

B.2sin(α+30°)=2sinα+

3

C.2sin(α+30°)=

3

sinα+cosα
（1）正确的选项是

 

；
（2）如图1，△ABC中，AC=1，∠B=30°，∠A=α，请利用此图证明（1）中的结论；
（3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD=8

2

，求S_△ADC．

Answer 1

分析：（1）利用关系式sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ即可解答．
（2）构造直角三角形，过A、C点作AD⊥BC交BC的延长线于点D，CE⊥AB于E，根据三角函数知识，可用α表示出AB的长度，再表示出AE和BE的长度，AB=AE+BE，分别让带有α两式相等即可．
（3）要求三角形的面积，必须找到三角形的一边和这条边上的高；过点A作AG⊥CD交CD的延长线于G点．根据题意可知CD和AD的长度，和∠ADG的度数，根据上述得出的结论，可以求出∠的正弦值，在直角三角形ADG中，AD已知，根据三角函数关系式即可得出AG的长度，代入S_△ADC的面积公式即可．

解答：解：（1）C．
2sin（α+30°）=2（sinα•cos30°+cosα•sin30°）=

3

sinα+cosα．
故答案选C．

（2）如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D．
∵∠B=30°，∠BAC=α，AC=1，
∴∠ACD=α+30°．
∴在△ADC中，∠ADC=90°，AD=AC•sin∠ACD=sin（α+30°）．
∵在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AD=2sin（α+30°）
过点C作CE⊥AB于E．
∴在△CEA中，∠AEC=90°，CE=sinα，AE=cosα．
在△BEC中，∠BEC=90°，EB=

3

CE=

3

sinα．
∴AB=AE+BE=cosα+

3

sinα．
∴AB=2sin(α+30°)=

3

sinα+cosα．

（3）由上面证明的等式易得sin(α+30°)=

3 sinα+cosα

2

．
如图，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G．
∵△ABD和△BCD是两个含45°和30°的直角三角形，BD=8

2

，
∴∠ADG=75°，AD=8，CD=4

2

．
∵sin75°=sin（45°+30°）=

3 sin45°+cos45°

2

=

6 + 2

4

．
∴在△ADG中，∠AGD=90°，AG=AD•sin∠ADG=8×sin75°=2

6

+2

2

．
∴S_△ADC=

1

2

CD•AG=

1

2

×4

2

×(2

6

+2

2

)=8

3

+8．

点评：本题考查了三角函数和化积差的函数式，要求学生掌握正余弦、正余切的和化积差和积差化和，熟练应用．