题目内容
如图1，在同一平面内，四条线AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，AD、BC相交于点O，AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∠B=α，∠D=β．
（1）如图2，AM、CN相交于点P．
①当α=β时，判断∠APC与α的大小关系，并说明理由．
②当α＞β时，请直接写出∠APC与α，β的数量关系．
（2）是否存在AM∥CN的情况？若存在，请判断并说明α，β的数量关系；若不存在，请说明理由．
（1）如图2，AM、CN相交于点P．
①当α=β时，判断∠APC与α的大小关系，并说明理由．
②当α＞β时，请直接写出∠APC与α，β的数量关系．
（2）是否存在AM∥CN的情况？若存在，请判断并说明α，β的数量关系；若不存在，请说明理由．
分析：（1）①当α=β时，根据三角形内角和定理得∠2+∠D=∠4+∠APC，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，则∠OCD=∠OAB，根据角平分线定义得∠2=∠4，所以∠APC=∠D=α；②∠2+∠D=∠4+∠APC，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，则∠2+β=∠4+∠APC，2∠2+β=α+2∠4，所以∠APC=
（α+β）；
（2）若AM∥CN，则∠4=∠5，由∠5=∠2+∠D得到∠4=∠2+β，同理得∠3=∠1+α，然后把两等式相加得到α+β=0，由此判断不存在AM∥CN．
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（2）若AM∥CN，则∠4=∠5，由∠5=∠2+∠D得到∠4=∠2+β，同理得∠3=∠1+α，然后把两等式相加得到α+β=0，由此判断不存在AM∥CN．
解答：解：
（1）如图2，
①当α=β时，∠APC=α．理由如下：
在△ANP和△CND中，∠2+∠D=∠4+∠APC，
在△AOB和△COD中，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，
∵∠D=∠B=α，
∴∠OCD=∠OAB，
∵AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠OCD=2∠2，∠OAB=2∠4，
∴∠2=∠4，
∴∠APC=∠D=α；
②当α＞β时，∠APC=
（α+β）；
（2）不存在．理由如下：
如图1，若AM∥CN，则∠4=∠5，
∵∠5=∠2+∠D，
∴∠4=∠2+β，
同理得∠3=∠1+∠B，即∠3=∠1+α，
∴∠3+∠4=∠1+∠2+α+β，
∵AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠3=∠2，∠1=∠4，
∴α+β=0，
∴不存在AM∥CN．
（1）如图2，①当α=β时，∠APC=α．理由如下：
在△ANP和△CND中，∠2+∠D=∠4+∠APC，
在△AOB和△COD中，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，
∵∠D=∠B=α，
∴∠OCD=∠OAB，
∵AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠OCD=2∠2，∠OAB=2∠4，
∴∠2=∠4，
∴∠APC=∠D=α；
②当α＞β时，∠APC=
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（2）不存在．理由如下：
如图1，若AM∥CN，则∠4=∠5，
∵∠5=∠2+∠D，
∴∠4=∠2+β，
同理得∠3=∠1+∠B，即∠3=∠1+α，
∴∠3+∠4=∠1+∠2+α+β，
∵AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠3=∠2，∠1=∠4，
∴α+β=0，
∴不存在AM∥CN．
点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了平行线的性质和三角形外角性质．
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