Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．
（1）求AE的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）       （2）36°，理由见解析

试题分析：（1）在Rt△ABC中，由AB=1，BC=，
得AC==，
∵以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E
∴BC=CD，AE=AD，
∴AE=AC﹣CD=；
（2）∠EAG=36°，理由如下：
∵FA=FE=AB=1，AE=，
∴=，
∴△FAE是黄金三角形，
∴∠F=36°，∠AEF=72°，
∵AE=AG，
∴∠EAG=∠F=36°．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了相似三角形的证明和性质，本题中求证三角形相似是解题的关键．