题目内容
【题目】（1）如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 交 AC 于 F， 过点 F 作 DF∥BC， 求证：BD=DF．
（2）如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？并证明这种关系．
（3）如图 3，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？请写出你的猜想．（不需证明）
【答案】（1）见详解；（2）BD+CE＝DE，证明过程见详解；（3）BD﹣CE＝DE，证明过程见详解
【解析】
（1）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠DFB＝∠CBF，∠ABF＝∠CBF，推出∠DFB＝∠DBF，根据等角对等边推出即可；
（2）与（1）证明过程类似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出结论；
（3）与（1）证明过程类似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出结论．
解：（1）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴BD＝DF；
（2）BD+CE＝DE，
理由是：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴BD＝DF；
同理可证：CE＝EF，
∵DE＝DF+EF，
∴BD+CE＝DE；
（3）BD﹣CE＝DE．
理由是：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴BD＝DF；
同理可证：CE＝EF，
∵DE＝DF﹣EF，
∴BD﹣CE＝DE．
