Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，DB=DC=EC，∠A=2∠ADB，AD=m，AB=n．

（1）在图1中找出与∠ABD相等的角，并加以证明；

（2）求BE的长；

（3）将△ABD沿BD翻折，得到△A′BD．若点A′恰好落在EC上（如图2），求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析　　（ 2） （3）

【解析】（1）由平行线的性质知∠DBC=∠ADB，由DB=DC，得出∠DCB=∠DBC=∠ADB，由DC=EC，得出∠CDE=∠CED=∠DBC+∠BCE=∠ADB+∠BCE，再由三角形内角和定理即可得出结果；

（2）在BC上取一点F，使CF=AB=n，连接EF，由SAS证得△ABD≌△FCE，得出∠EFC=∠DAB=2∠ADB，∠FEC=∠ADB，EF=AD=m，推出∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=2∠ADB﹣∠ADB=∠ADB=∠EBF，BF=EF=m，BC=BF+FC=m+n，再由△EBC∽△ADB，得出==，代入数值即可得出结果；

（3）由折叠性质知A′B=AB=n，∠A′BE=∠ABE，由△A′EB∽△BEC，得出==，代入数值即可得出结果．

解：（1）∠BCE=∠ABD，理由如下：

∵AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB，

∵DB=DC，

∴∠DCB=∠DBC=∠ADB，

∵DC=EC，

∴∠CDE=∠CED=∠DBC+∠BCE=∠ADB+∠BCE，

∵∠DBC+∠DCB+∠CDB=180°，即∠ADB+∠ADB+（∠ADB+∠BCE）=3∠ADB+∠BCE=180°，

又∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠A=2∠ADB，

∴3∠ADB+∠ABD=180°，

∴∠BCE=∠ABD；

（2）在BC上取一点F，使CF=AB=n，连接EF，如图1所示：

由（1）知：∠ABD=∠FCE，

在△ABD和△FCE中，，

∴△ABD≌△FCE（SAS），

∴∠EFC=∠DAB=2∠ADB，∠FEC=∠ADB，EF=AD=m，

∴∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=2∠ADB﹣∠ADB=∠ADB=∠EBF，

∴BF=EF=m，BC=BF+FC=m+n，

∵∠EBC=∠ADB，∠BCE=∠DBA，

∴△EBC∽△ADB，

∴==，即： ==，

∴DB=，

∴BE=；

（3）∵将△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，点A′恰好落在EC上，

∴A′B=AB=n，∠A′BE=∠ABE，

由（1）知：∠ABE=∠BCE，

∴∠A′BE=∠BCE，

∵∠A′EB=∠BEC，

∴△A′EB∽△BEC，

∴==，即： =，

整理得：m2+mn﹣n2=0，即（）2+﹣1=0，

解得： =（负值舍去），

∴=．

“点睛”本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．